Feladat: 474. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Börzsöny László ,  Fekete Jenő ,  Szatmári Attila 
Füzet: 1958/november, 82 - 83. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/február: 474. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az egyenlet gyökei az ismert oldóképlet alkalmazásával:

x1=-b-b2-4c2,x2=-b+b2-4c2.

Hogy a diszkrimináns teljes négyzet, ezt más szóval úgy mondhatjuk, hogy négyzetgyöke és vele a gyökök számlálója egész; azt kell csak megmutatnunk tehát, hogy a számlálók páros számok. Ámde a diszkrimináns és vele a négyzetgyöke is aszerint páros, ill. páratlan, hogy b páros, ill. páratlan, azaz mindkét számlálóban a két-két tag egyenlő párosságú. Ekkor pedig összegük is, különbségük is páros, amit bizonyítani akartunk.
 

Fekete Jenő (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.)
 

II. megoldás: Az I. megoldásban előrebocsátottak szerint mindkét gyök racionális. Legyen tovább nem egyszerűsíthető alakban egyikük, pl. x1=pq, ahol p és q relatív prím egészek. Ez kielégíti az egyenletet, azaz
(pq)2+bpq+c=0.
Innen szorzással és rendezéssel az egész számok között fennálló
p2=-bpq-cq2=-q(bp+cq)
egyenlőségre jutunk, amely szerint p2 osztható q-val. Ámde p és q-val együtt p2 és q is relatív prímek, ennélfogva az oszthatóság csak q=1-gyel (vagy q=-1-gyel) teljesülhet, akkor pedig x1=p (ill. -p), vagyis egész. Evvel ‐ minthogy x1 a két gyök bármelyikét jelölte ‐, az állítást bebizonyítottuk.
 

Szatmári Attila (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.)
 

Megjegyzés: A feladat állítása speciális esete a következő általános tételnek ha egy csupa egész együtthatókat tartalmazó algebrai egyenletben a legmagasabb fokú tag együtthatója 1, és az egyenletnek van racionális gyöke, akkor ez a gyök egész.
 

Börzsöny László (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.)