A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az egyenlet gyökei az ismert oldóképlet alkalmazásával: | |
Hogy a diszkrimináns teljes négyzet, ezt más szóval úgy mondhatjuk, hogy négyzetgyöke és vele a gyökök számlálója egész; azt kell csak megmutatnunk tehát, hogy a számlálók páros számok. Ámde a diszkrimináns és vele a négyzetgyöke is aszerint páros, ill. páratlan, hogy páros, ill. páratlan, azaz mindkét számlálóban a két-két tag egyenlő párosságú. Ekkor pedig összegük is, különbségük is páros, amit bizonyítani akartunk.
Fekete Jenő (Mosonmagyaróvár, Kossuth L. g. I. o. t.) | II. megoldás: Az I. megoldásban előrebocsátottak szerint mindkét gyök racionális. Legyen tovább nem egyszerűsíthető alakban egyikük, pl. , ahol és relatív prím egészek. Ez kielégíti az egyenletet, azaz Innen szorzással és rendezéssel az egész számok között fennálló egyenlőségre jutunk, amely szerint osztható -val. Ámde és -val együtt és is relatív prímek, ennélfogva az oszthatóság csak -gyel (vagy -gyel) teljesülhet, akkor pedig (ill. ), vagyis egész. Evvel ‐ minthogy a két gyök bármelyikét jelölte ‐, az állítást bebizonyítottuk.
Szatmári Attila (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.) | Megjegyzés: A feladat állítása speciális esete a következő általános tételnek ha egy csupa egész együtthatókat tartalmazó algebrai egyenletben a legmagasabb fokú tag együtthatója , és az egyenletnek van racionális gyöke, akkor ez a gyök egész.
Börzsöny László (Bp. V., Eötvös J. g. II. o. t.) |
|
|