A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Törzstényezők szorzatára bontva . Megmutatjuk, hogy a összeg osztható , és mindegyikével, és így szorzatukkal is, mivel ezek a számok páronként relatív prímek. páros, mert két páratlan szám összege, ugyanis páratlan számnak minden (pozitív egész kitevőjű) hatványa is páratlan. A szám alakú, ezért minden hatványa alakú, a pedig alakú, ezért minden páratlan kitevőjű hatványa alakú (a páros kitevőjűek alakúak), így a szám alakú, osztható -mal (itt , , , egész számok). Általában belátható, hogy ha a -nek valamely többszörösétől -vel tér el, azaz ha alakú, ahol , , egész szám, és így is az, akkor -nek hatványa, a -nek valamely többszörösétől -nel tér el. Ugyanis a hatványnak a | | értelmezés alapján lépésről lépésre való kiszámításában (vagyis egyszerre mindig csak egy tényezőt hozzászorozva az előtte álló tényezők szorzatához) minden tagot minden taggal szorozva és e szorzatokat összegezve egyetlen kivétellel minden szorzatban legalább egy tényező többszöröse -nek, tehát e szorzatok összege is többszöröse -nek. Az a szorzat az egyetlen kivétel, amely kizárólag tényezőkből alakul; ez két tényező összeszorzása után , háromé után , az utolsó lépés után . Ezt a megállapításunkat -gyel a , ill. a számokra alkalmazva, vagyis amikor , ill. , azt kapjuk, hogy a -nek valamely többszörösétől -val tér el, azaz osztható -gyel.
Bácsy Zsolt (Bp. V., Eötvös J. g. I. o. t.) | II. megoldás: Alkalmazzuk előbbi megállapításunkat az előkészítő átalakítás alapján -tal a , ill. számokra, azaz mindkét esetben -gyel és , ill. -gyel. Így | | amit bizonyítani akartunk.
Müller Miksa (Makó, József A. g. II. o. t.) | III. megoldás: Alakítsuk át az számot a következőképpen, hogy tényezőkre bontható kifejezésekhez jussunk: | | Itt az ismert ill. oszthatósági tételek szerint (ahol, ha és egészek, akkor és is egészek) az első zárójelbeli összeg osztható -tal, a másodikbeli pedig -tal és így osztható -tal.
Bálint András (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.) | Megjegyzés: Sok dolgozat használ a bemutatottakhoz hasonló más átalakításokat, pl. és , vagy alakban. |