Kezdőlap


Feladat:	473. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zsolt , Bálint András , Müller Miksa
Füzet:	1958/november, 81 - 82. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/február: 473. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Törzstényezők szorzatára bontva $66 = 2 \cdot 3 \cdot 11$ . Megmutatjuk, hogy a $N = 43^{23} + 23^{43}$ összeg osztható $2$ , $3$ és $11$ mindegyikével, és így szorzatukkal is, mivel ezek a számok páronként relatív prímek.
$N$ páros, mert két páratlan szám összege, ugyanis páratlan számnak minden (pozitív egész kitevőjű) hatványa is páratlan. A $43$ szám $3 k + 1$ alakú, ezért minden hatványa $3 K_{1} + 1$ alakú, a $23$ pedig $3 k - 1$ alakú, ezért minden páratlan kitevőjű hatványa $3 K_{2} - 1$ alakú (a páros kitevőjűek $3 K + 1$ alakúak), így a $N$ szám $3 (K_{1} + K_{2})$ alakú, osztható $3$ -mal (itt $k$ , $K$ , $K_{1}$ , $K_{2}$ egész számok).
Általában belátható, hogy ha $b$ a $c$ -nek valamely többszörösétől $d$ -vel tér el, azaz ha $b = c k + d$ alakú, ahol $b$ , $c$ , $k$ egész szám, és így $d$ is az, akkor $b$ -nek hatványa, $b^{n}$ a $c$ -nek valamely többszörösétől $d^{n}$ -nel tér el. Ugyanis a hatványnak a

\begin{matrix} b^{n} = {(c k + d)}^{n} = (c k +_{}^{} d) (c k +_{}^{} d) ... (c k +_{}^{} d) \end{matrix}

értelmezés alapján lépésről lépésre való kiszámításában (vagyis egyszerre mindig csak egy

c k + d

tényezőt hozzászorozva az előtte álló tényezők szorzatához) minden tagot minden taggal szorozva és e szorzatokat összegezve egyetlen kivétellel minden szorzatban legalább egy tényező többszöröse

c

-nek, tehát e szorzatok összege is többszöröse

c

-nek. Az a szorzat az egyetlen kivétel, amely kizárólag

d

tényezőkből alakul; ez két

c k + d

tényező összeszorzása után

d^{2}

, háromé után

d^{3}

, az utolsó lépés után

d^{n}

.
Ezt a megállapításunkat

c = 11

-gyel a

b = 43 = 11 \cdot 4 - 1

, ill. a

b = 23 = 11 \cdot 2 + 1

számokra alkalmazva, vagyis amikor

d = - 1

, ill.

d = + 1

, azt kapjuk, hogy

N

11

-nek valamely többszörösétől

{(- 1)}^{23} + {(+ 1)}^{43} = 0

-val tér el, azaz osztható

11

-gyel.

Bácsy Zsolt (Bp. V., Eötvös J. g. I. o. t.)

II. megoldás: Alkalmazzuk előbbi megállapításunkat az

N = 43 {(43^{2})}^{11} + 23 {(23^{2})}^{21}

előkészítő átalakítás alapján

c = 66

-tal a

b = 43^{2} = 66 \cdot 28 + 1

, ill.

b = 23^{2} = 66 \cdot 8 + 1

számokra, azaz mindkét esetben

d = 1

-gyel és

n = 11

, ill.

n = 21

-gyel. Így

\begin{matrix} N = 43 {(66 \cdot 28 + 1)}^{11} + 23 {(66 \cdot 8 + 1)}^{11} = 43 (66 K_{1} + 1) + 23 (66 K_{2} + 1) = \end{matrix}

\begin{matrix} = 66 (K_{1} + K_{2} + 1) = 66 K_{3}, \end{matrix}

amit bizonyítani akartunk.

Müller Miksa (Makó, József A. g. II. o. t.)

III. megoldás: Alakítsuk át az

N

számot a következőképpen, hogy tényezőkre bontható kifejezésekhez jussunk:

\begin{matrix} N = (43^{23} + 23^{23}) + (23^{43} - 23^{23}) = (43^{23} + 23^{23}) + 23^{23} (23^{20} - 1) . \end{matrix}

Itt az ismert

\begin{matrix} a^{2 n + 1} + b^{2 n + 1} = (a + b) m, \end{matrix}

ill.

\begin{matrix} a^{2 n} - b^{2 n} = (a^{2} - b^{2}) m' \end{matrix}

oszthatósági tételek szerint (ahol, ha

a

és

b

egészek, akkor

m

és

m'

is egészek) az első zárójelbeli összeg osztható

43 + 23 = 66

-tal, a másodikbeli pedig

23^{2} - 1^{2} = 528 = 8 \cdot 66

-tal és így

N

osztható

66

-tal.

Bálint András (Bp. V., Apáczai Csere J. gyak. g. II. o. t.)

Megjegyzés: Sok dolgozat használ a bemutatottakhoz hasonló más átalakításokat, pl.

43 = 33 + 10

és

23 = 33 - 10

, vagy

23 = 66 - 43

alakban.