Feladat: 471. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bácsy Zs. ,  Csikor F. ,  Farkas György ,  Fenyő G. ,  Gagyi Pálffy A. ,  Gáti P. ,  Gerda Á. ,  Gerlai M. ,  Hajna J. ,  Kámory L. ,  Kiss Erzsébet ,  Komlós J. ,  Komlóssy Gy. ,  Lefkovits S. ,  Marton Katalin ,  Mezey F. ,  Mocskónyi M. ,  Molnár Emil ,  Musulin Mária ,  Pál G. ,  Perneczky G. ,  Sáry B. ,  Simai László ,  Szatmári A. ,  Székely J. ,  Tomka F. ,  Török László ,  Walkowsky B. ,  Zombori L. ,  Zsigmond B. 
Füzet: 1958/október, 57. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Térelemek és részeik, Térgeometriai bizonyítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/január: 471. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha az n db egyenes mindegyike átmegy egy ponton, akkor nincs mit bizonyítanunk. Feltehetjük tehát, hogy nem mindegyik egyenes halad át egy ponton. ‐ Tekintsünk az egyenesek közül két tetszésszerintit: a-t és b-t. Mivel az egyenesek nem mind mennek át a és b-nek P metszéspontján, azért van legalább egy olyan c egyenes, amely nem halad át P-n. Ennek az a-val és b-vel való közös pontjai P-től különbözők, ez pedig azt jelenti, hogy c-nek két pontja van a és b síkjában, és így abban benne fekszik.
Bármelyik további d egyenes metszi a, b és c mindegyikét. Minthogy azonban e háromnak nincs közös pontja, azért d-vel alkotott metszéspontjaik közül legalább kettő különböző, így c-re vonatkozó fenti következtetésünk d-re is áll.

 

Simai László (Kisújszállás, Móricz Zs. g. I. o. t.)
 

II. megoldás: Ha az n db egyenes mindegyike egy síkban van, akkor nincs mit bizonyítanunk. Feltehetjük tehát, hogy nem mindegyik egyenes van benne egy síkban. Tekintsünk az egyenesek közül két tetszésszerintit: a-t és b-t. Mivel az egyenesek nem mind vannak benne a és b-nek S síkjában, azért van legalább egy olyan c egyenes, amely nincs benne S-ben, így nincs S-sel egynél több közös pontja. a-nak és b-nek viszont nincs S-en kívüli pontja, így c csak úgy metszheti a és b mindegyikét, ha áthalad közös pontjukon P-n. Bármelyik további d egyenes vagy S-ben van, és ekkor c-t csak P-ben metszheti, vagy nincs benne S-ben, ekkor ugyanaz áll rá, mint c-re.
 

Megjegyzések. c létezését kihasználva tulajdonképpen feltettük, hogy n>2; emiatt az n=2 esetről külön kell szólnunk. Ekkor azonban a bizonyítandó állítás csupán más kifejezésekkel való megismétléseit jelenti a feltevésnek, tehát igaz. Az pedig, hogy d-ről is beszéltünk, az n>3 feltevést jelenti. Ha n=3, akkor a bizonyítás a c-re vonatkozó megállapítással be van fejezve.
Természetesen az is lehetséges, hogy az egyenesek egy síkban is vannak és egyszersmind egy ponton mennek át. Eszerint a ,,vagy..., vagy...''-nak itt nem az a jelentése, mint a közbeszédben rendszerint: két, esetleg több lehetőség közül pontosan az egyik teljesül, a többi nem (ún. ,,kizáró-vagy''). Itt a ,,vagy-vagy'' azt jelenti, hogy a két lehetőség közül legalább az egyik teljesül.
Figyeljük meg a bizonyításokban, hogy a ,,mindegyik'' fogalomnak a tagadása nem ez: ,,egy sem'' (ahogyan sokan felületesen gondolnák), hanem ez: ,,nem mindegyik''. Az utóbbi tagadó alakot így fordítottuk át állítássá: ,,van legalább egy olyan, amely nem ...''