Feladat: 470. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Biborka Tamás ,  Horváth Erzsébet ,  Mezey Ferenc 
Füzet: 1958/október, 55 - 57. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diofantikus egyenletek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1958/január: 470. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel az egymásutáni fiúk sorra 1-gyel több és több tehenet kaptak, azért a feleségeknek sorra 1-gyel‐1-gyel kevesebbet kellett kapniuk, hogy mindegyik házaspárra ugyanannyi tehén jusson. Ámde az utolsó feleség nem kaphatott tehenet, mert különben az elosztás maradékkal végződött volna (,,elosztotta'': befejezett cselekvés, magának egyet sem tartott meg). Így az utolsó előtti (a 6-ik) fiú felesége 1 tehenet kapott, az akkori maradék kilenced részét, vagyis ez a maradék 9 volt, és az 1 tehén elvételével az utolsó házaspárnak 8 tehén maradt. Mind a 7 családnak ennyi jutott, tehát az apának 7⋅8=56 tehene volt.
Eredményünk ellenőrzése céljára számítsuk ki az első fiú részét is. Ez 7-1=6-tal kevesebbet kapott a hetedik fiúnál, vagyis a hetedik házaspárnál, tehát 2 tehenet. Most már elkészíthetjük az elosztás részletes táblázatát; az eredmények valamennyi követelményt teljesítik.

  családvanfiúmaradékfeleségeegyütt  I.5625468  II.4834558  III.4043648  IV.3252738  V.2461828  VI.167918  VII.88008  

Biborka Tamás (Makó, József A. g. I. o. t.)
 

II. megoldás: Legyen két egymásutáni fiú A és B, vagyis A legyen B-nek legfiatalabb bátyja, feleségeik pedig A1 ill. B1; legyen továbbá az egy házaspárra jutó tehenek száma x. B 1-gyel többet kapott, mint A, így B1 1-gyel kevesebbet kapott A1-nél. Másrészt B1 annak a 9-ed részével kapott kevesebbet, mint A1, amennyivel kevesebb volt a rendelkezésre álló tehenek száma az ő sorra kerülésekor, mint mikor A1 részét állapították meg. Ez a különbség x+1, mert a közben kielégített A1 és B teheneinek együttes száma 1-gyel több A1 és A teheneinek számánál. Eszerint az A1 és B részesedéseiből képezett különbség kétféle kifejezése révén
x+19=1.(1)

Innen x=8, és eredetileg 7⋅8=56 volt a tehenek száma.
 

Mezey Ferenc (Bp., II., Rákóczi g. II. o. t.)
 

III. megoldás: Legyen y az összes tehenek száma és z az első fiú része. Ennek felesége egyrészt az elosztás egymásutánjából számítva y-z9 tehenet kapott, másrészt az I. megoldás szerint 6-tal többet a hetedik asszonynál, vagyis 6-ot, innen:
y-z9=6.(2)
Ugyancsak kétféleképpen fejezhetjük ki az első házaspár részét is, innen:
z+y-z9=y7.(3)

A (2) és (3)-ból álló rendszer megoldása y=56, z=2.
 

Horváth Erzsébet (Pápa, Petőfi S. g. I. o. t.)
 

Megjegyzések. A (3) egyenlet mellé még egyet úgy is kaphatunk, ha meggondolásunkat kiterjesztjük a második házaspár részesedésére, amely ugyanannyi, mint az elsőé:
z+y-z9=z+1+y-z-y-z9-(z+1)9(4)
azaz
y+8z9=8y+64z+7281.

Ha egyenletrendszerünk felállítása céljára a feladat szövegén mondatról-mondatra haladva készítjük el az egymásutáni személyek részesedésének kifejezését, majd ezekből az egyes házaspárokét, akkor a fenti y és z-vel a (4) egyenlet két oldalának mintájára hét kifejezést kapunk. Már az is, hogy ezeket egyenlőknek írja elő az utolsó adat, hat követelményt támaszt a két ismeretlennel szemben. Hogy ez a két ismeretlen hogyan teljesítheti a feladat összes követelményeit, ennek vizsgálatára visszatérünk (l. ezen szám, 921. feladat).