Kezdőlap


Feladat:	469. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bácsy Zsolt , Balogh Anikó
Füzet:	1958/október, 54 - 55. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Négyzetszámok összege, Hatványösszeg, Műveletek polinomokkal, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 469. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A kérdés eldöntése nyilván csak úgy lesz tanulságos, a gondolatok csak akkor lesznek más esetekben is használhatók, ha válaszunkat nem a két oldalnak külön-külön való kiszámításával készítjük elő.
Vonjuk le a jobboldalból a balt, a közös nevező $79^{4}$ lesz, a számláló pedig így alakítható át (igyekezve szorzatokat alakítani és a közös tényezőket kiemelni):

\begin{matrix} 79^{2} (40^{2} + 51^{2} + 91^{2}) - 40^{4} - 51^{4} - 91^{4} = 41^{2} (79^{2} - 40^{2}) + \\ + 51^{2} (79^{2} - 51^{2}) - 91^{2} (92^{2} - 79^{2}) = \\ = 40^{2} \cdot 119 \cdot 39 + 51^{2} \cdot 130 \cdot 28 - 91^{2} \cdot 170 \cdot 12 = 4^{2} \cdot 10^{2} \cdot 7 \cdot 17 \cdot 3 \cdot 13 + \\ + 3^{2} \cdot 17^{2} \cdot 10 \cdot 13 \cdot 4 \cdot 7 - 7^{2} \cdot 13^{2} \cdot 17 \cdot 10 \cdot 4 \cdot 3 = \\ = 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 13 \cdot 17 (4 \cdot 10 + 3 \cdot 17 - 7 \cdot 13) = \\ = 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10 \cdot 13 \cdot 17 (40 + 51 - 91) = 0 \end{matrix}

Azt nyertük, hogy a két oldal különbsége 0, és így igazoltuk az egyenlőség helyességét.

Balogh Anikó (Bp., V., Veress Pálné lg. I. o. t.)

II. megoldás: Vegyük észre a kétoldali hatványalapok megegyezésén felül azt is, hogy

40 + 51 = 91

, és kérdezzük általában: mely feltétel mellett igaz az

\begin{matrix} \frac{a^{4} + b^{4} + {(a + b)}^{4}}{c^{4}} = \frac{a^{2} + b^{2} + {(a + b)}^{2}}{c^{2}}, \end{matrix}

(1)

egyenlőség?
(1)-ből a zárójelek felbontásával és felezéssel:

\begin{matrix} \frac{a^{4} + 2 a^{3} b + 3 a^{2} b^{2} + 2 a b^{3} + b^{4}}{c^{4}} = \frac{a^{2} + b^{2} + a b}{c^{2}}, \end{matrix}

itt pedig a baloldali kifejezésben ráismerhetünk a jobboldalinak a négyzetére.
Az

x^{2} = x

egyenlőség viszont teljesül, ha

x = 1

, ennélfogva (1) igaz voltának elegendő feltétele, hogy álljon:

\begin{matrix} c^{2} = a^{2} + a b + b^{2} . \end{matrix}

(2)

Ez a mi esetünkben teljesül, ugyanis

a = 40

b = 51

és

c = 79

-cel egyrészt

\begin{matrix} c^{2} - a^{2} = 79^{2} - 40^{2} = 39 \cdot 119 = 3 \cdot 13 \cdot 7 \cdot 17, \end{matrix}

másrészt

\begin{matrix} a b + b^{2} = 40 \cdot 51 + 51^{2} = 51 \cdot 91 = 3 \cdot 17 \cdot 7 \cdot 13, \end{matrix}

ennélfogva az eredeti egyenlőség is igaz.

Bácsy Zsolt (Bp., V., Eötvös J. g. I. o. t.)

Megjegyzés.

x^{2} = x

akkor is teljesül, ha

x = 0

. Az

a^{2} + a b + b^{2} = 0

követelményből azonban

a

és

b

hányadosa nem valós szám, így nem kapunk a feladatban bemutatotthoz hasonló tetszetős egyenlőséget. Egyébként a (2) egyenlőséget pl. a jóval kisebb

a = 3

b = 5

c = 7

számok is kielégítik.