Kezdőlap


Feladat:	468. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Budai Miklós , Mezey Ferenc
Füzet:	1958/október, 52 - 54. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Alakzatok hasonlósága, Körérintési szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 468. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Haladjon át a keresett $k$ kör a $K$ középpontú $A B C D$ négyzetnek $B$ csúcsán (l. az 1. ábrát).

1. ábra

Így az előírt érintések (

e

és

f

-nek át nem lépése) és a négyzet tulajdonságai folytán

k

-nak

O

középpontja csak a

K

végpontú

K B

félegyenesen lehet, mert ez az

e

és

f

-fel meghatározott négy szögtartomány közül a

B

-t tartalmazónak a szögfelezője. Így

k

-nak a

B

-hez tartozó átmérője

K B

-n lesz, és

k

B

-ben

K B

-re merőlegesen álló

g

egyenest is érinti. Másszóval

k

K E F ▵

-nek olyan érintőköre, melynek középpontja a

K

-beli belső szögfelezőn van. Ilyen kettő van,

O_{1}

és

O_{2}

középpontjaikat

K B

-ből akár az

E

vagy

F

-nél levő szögek felezőivel kimetszhetjük, akár úgy, hogy az

E

körüli

E B

sugarú körnek

e

-vel való metszéspontjaiban,

k_{1}

és

k_{2}

-nek

e

-n levő

E_{1}

E_{2}

érintési pontjaiban megszerkesztjük

e

-re a merőlegeseket.

Budai Miklós (Bp., II., Rákóczi F. g. I. o. t.)

II. megoldás: A négyzet

c

körülírt körének középpontja

K

, így a

K B

egyenes centrálisa

c

és

k

-nak, továbbá

c

és a keresett

k

kör

B

-ben érintkeznek, eszerint

B

hasonlósági pontjuk, mégpedig belső hasonlósági pont, ha

k

és

c

kívülről érintik egymást, és külső, ha az érintkezés belső. Minthogy pedig két kör párhuzamos érintőinek érintési pontjait összekötő egyenesek átmennek a megfelelő hasonlósági ponton, azért e tétel megfordításával az I. megoldás

E_{1}

E_{2}

pontjainak megszerkesztésére felhasználhatjuk

c

és

f

metszéspontjait, a

T_{1}

T_{2}

pontokat is (1. 2. ábra), mint a

c

-nek

e

-vel párhuzamos érintőihez tartozó érintési pontokat.

2. ábra

Ezekkel

E_{1}

-et

B T_{1}

metszi ki,

E_{2}

-t

B T_{2}

Mezey Ferenc (Bp., II., Rákóczi F. g. II. o. t.)

III. megoldás: Számítsuk ki a keresett körök

r

ill.

R

sugarát, majd e szakaszok megszerkesztése alapján tűzzük ki

B

-ből

O_{1}

és

O_{2}

-t vagy

K

-ból

E_{1}

és

E_{2}

-t. Az 1. ábra szerint

\begin{matrix} K B = r (\sqrt[]{2} + 1) = R (\sqrt[]{2} - 1), \end{matrix}

és ezek így is írhatók:

\begin{matrix} r : K B = 1 : (\sqrt[]{2} + 1), ill. R : K B = 1 : (\sqrt[]{2} - 1) . \end{matrix}

A szerkesztést a 3. ábrán mutatjuk be.

3. ábra

(Az I., II., III. és IV. jelek a lépések időbeli sorrendjét jelzik.)

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere J. g. I. o. t.)

Megjegyzés. Az 1. ábra

E

közepű körével végzett szerkesztéshez is eljuthatunk számítás alapján: a

K E F

egyenlő szárú derékszögű háromszög kívánt érintő köreinek sugarai az ismert képletek, valamint

K E = K F = \sqrt[]{2} K B

és

E F = 2 K B

alapján

\begin{matrix} r = \frac{K E + K F - E F}{2} = (\sqrt[]{2} - 1) K B = K E - K B = K E - E B = K E - E E_{1} = K E_{1}, \\ R = \frac{K E + K F + E F}{2} = (\sqrt[]{2} + 1) K B = K E + E B = K E + E E_{2} = K E_{2} . \end{matrix}