Kezdőlap


Feladat:	467. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Hild Erzsébet , Pinkert András
Füzet:	1958/október, 51. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 467. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vonjuk le az $a$ oldalú négyzet területéből a két negyedkör területét. Ekkor kétszeresen vontuk le az $A P B$ két $60^{\circ}$ -os körívvel határolt görbevonalú idom területét. Ahhoz, hogy a kérdéses $t$ területet kapjuk meg, az $A P B$ területet hozzá kell adnunk az előbbi területkülönbséghez (l. az ábrát).

A P B

görbevonalú idom területét úgy kapjuk meg, ha a

B A P

és

A B P

hatodkörcikkek területéből,

2 \cdot \frac{a^{2} π}{6}

-ból levonjuk az

A B P

egyenlőoldalú háromszög területét,

\frac{a \cdot a \cdot sin 60^{\circ}}{2} = \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4}

-et.
Ezek alapján a kérdéses terület

\begin{matrix} t = a^{2} - 2 \cdot \frac{a^{2} π}{4} + (2 \cdot \frac{a^{2} π}{6} - \frac{a^{2} \sqrt[]{3}}{4}) = a^{2} (1 - \frac{π}{6} - \frac{\sqrt[]{3}}{4}) = \\ = a^{2} \cdot \frac{12 - 2 π - 3 \sqrt[]{3}}{12} \sim 0, 043 a^{2} . \end{matrix}

Ebből látható, hogy a keresett terület az egész négyzet területének kb.

4, 3

százaléka.

Pinkert András (Bp., VIII., Széchenyi g. I. o. t.)

II. megoldás: A

t

területet még egyszerűbben megkaphatjuk, ha a négyzet területéből levonjuk az

A P B

egyenlőoldalú háromszög területét, továbbá az

A P D

és

B P C

tizenketted körcikkek területét:

\begin{matrix} t = a^{2} - a^{2} \frac{\sqrt[]{3}}{4} - 2 a^{2} \frac{π}{12} = a^{2} \frac{12 - 3 \sqrt[]{3} - 2 π}{12} . \end{matrix}

Hild Erzsébet (Békéscsaba, Lorántffy Zs. lg. II. o. t.)