Kezdőlap


Feladat:	466. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ferenczy Kinga , Holop András , Lakosi Katalin , Péterfi Edit
Füzet:	1958/október, 49 - 50. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 466. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Messe a $D$ csúcson át húzott egyenes az $A B$ oldal meghosszabbítását a $Q$ pontban.

\begin{matrix} Q A A_{1} △ \sim Q B B_{1} △ \sim D C C_{1} △, \end{matrix}

mert megfelelő szögeik párhuzamos szárúak s ezért egyenlőek.

1. ábra

Az 1. ábráról könnyen leolvasható, hogy

\begin{matrix} Q A + A B = Q A + D C = Q B . \end{matrix}

A három felsorolt hasonló háromszögnél tehát az első és harmadik egy-egy megfelelő oldalának összege a második megfelelő oldalát adja. De a hasonló háromszögek többi megfelelő oldalai egyik oldalukból ugyanazzal a szorzószámmal való szorzás útján keletkeznek, tehát a

Q A

D C

és

Q B

oldalakra fennálló összefüggés érvényes lesz az

A A_{1}

C C_{1}

és

B B_{1}

oldalakra is:

\begin{matrix} A A_{1} + C C_{1} = B B_{1} . \end{matrix}

Péterfi Edit (Kistelek, Ált. gimn. II. o. t.)

II. megoldás: Húzzuk meg a paralelogramma

A C

átlóját s a keletkezett

A A_{1} C C_{1}

trapézt tükrözzük a paralelogramma

O

középpontjára. A

D

ponton átmenő egyenes képe a

B

ponton halad át vele párhuzamosan, s a keletkező

A_{1} A_{2} C_{1} C_{2}

idom paralelogramma lesz (2. ábra).

2. ábra

Mivel

A_{1} A_{2} | | B_{1} B | | C_{1} C_{2}

, így

\begin{matrix} B B_{1} = A_{1} A + A A_{2} = A_{1} A + C_{1} C . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk állításunkat.

Lakosi Katalin (Szombathely, Kanizsai Dorottya lg. I. o. t.)

III. megoldás: Húzzunk párhuzamost

A

-ból a

D

-n átmenő egyenessel és messe ez

B B_{1}

-et a

Q

pontban (3. ábra).

3. ábra

A párhuzamosság következtében

\begin{matrix} A A_{1} = Q B_{1} . \end{matrix}

Mivel

A B Q △ ≅ D C C_{1} △

(egy oldaluk és két szögük egyezik), azért

\begin{matrix} C C_{1} = B Q . \end{matrix}

Így valóban

\begin{matrix} B B_{1} = B Q + Q B_{1} = C C_{1} + A A_{1}, \end{matrix}

amint azt állítottuk.

Holop András (Bp., I., Petőfi g. II. o. t.)

Megjegyzés: A III. megoldásban voltaképpen

A A_{1}

-et a

D

ponton átmenő egyenes mentén önmagával párhuzamosan a

B B_{1}

szakaszra toltuk el. A feladatnak egyszerű bizonyítását nyerhetjük úgy is, ha

A A_{1}

-et az

A B

oldal mentén toljuk el

B B_{1}

-re.

Ferenczy Kinga (Bp., IX., Patrona Hungariae lg. II. o. t.)