Kezdőlap


Feladat:	465. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fejes László , Marton Katalin
Füzet:	1958/október, 48 - 49. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1958/január: 465. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyen a két különböző páratlan szám $a$ és $(a + x)$ , ahol $a$ páratlan, $x$ pedig, páros. Köbeik különbsége:

\begin{matrix} {(a + x)}^{3} - a^{3} = a^{3} + 3 a^{2} x + 3 a x^{2} + x^{3} - a^{3} = \\ = 3 a x (a + x) + x^{3} = x [3 a (a + x) + x^{2}] . \end{matrix}

Ez csak akkor osztható a két szám különbségének kétszeresével,

2 x

-szel, ha a szögletes zárójelen belüli rész osztható 2-vel. De

3 a

és

(a + x)

páratlanok, a szorzatuk is az,

x^{2}

páros.

3 a (a + x) + x^{2}

tehát páratlan.
A két szám köbének különbsége valóban nem osztható a két szám különbségével.

Fejes László (Makó, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Elegendő azt igazolnunk, hogy két páratlan szám köbének különbségét a két szám különbségével osztva páratlan számot kapunk. Legyen a két páratlan szám

a

és

b

, akkor ismert oszthatósági tétel alapján

\begin{matrix} \frac{a^{3} - b^{3}}{a - b} = \frac{(a - b) (a^{2} + a b + b^{2})}{a - b} = a^{2} + a b + b^{2} . \end{matrix}

Mivel

a

és

b

páratlan,

a^{2}

a b

és

b^{2}

is az, a három páratlan szám összege szintén páratlan.
Ezzel állításunkat igazoltuk.

Marton Katalin (Bp., VI., Varga Katalin lg. II. o. t.)

Megjegyzések: 1. A feladat ugyanezzel a gondolatmenettel általánosítható. Ha

a

b

és

k

páratlan, akkor

a^{k} - b^{k}

nem osztható

2 (a - b)

-vel, mert

\begin{matrix} \frac{a^{k} - b^{k}}{a - b} = a^{k - 1} + a^{k - 2} b + ... + a b^{k - 2} + b^{k - 1} \end{matrix}

páratlan számú (

k

darab) páratlan szám összege, s így páratlan. ‐ Ha

a

és

b

közül az egyik páratlan, a másik páros, akkor ugyanez fennáll, hiszen a vizsgált hányadosban akkor páros számú (

k - 1

darab) páros és egy páratlan szám összege áll.
Ha

a

is,

b

is páros, akkor

a^{n} - b^{n}

osztható

2^{n - 1} (a - b)

-vel, mert az

a^{n - 1} + a^{n - 2} b + ... + a b^{n - 2} + b^{n - 1}

minden tagja osztható

2^{n - 1}

-nel.
2. Páros

n

-re nem igaz a tétel, hiszen a vizsgált összeg ekkor páros számú páratlan tagból áll, vagyis 2-vel osztható lesz.
3. A bizonyított állítást is megfogalmazhatjuk: ha két egész szám közül legalább az egyik páratlan, akkor páratlan kitevőjű hatványaik különbsége 2-nek legfeljebb annyiadik hatványával osztható, ahányadikkal az alapok különbsége.