Kezdőlap


Feladat:	463. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Angermayer Etelka
Füzet:	1958/szeptember, 24. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül körökben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 463. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha a kisebbik kör sugarát $ϱ$ -val jelöljük, a nagyobbik köré $ϱ + 5$ lesz, az $O_{1}$ , és $O_{2}$ körközéppontok távolsága $2 ϱ + 5$ , s a kisebb kör érintési pontjától a centrálissal való $M$ metszéspontig terjedő szakasz hossza $2, 4$ $ϱ$ (1. az ábrát).

Az érintési ponthoz húzott

ϱ

sugár által létesített derékszögű háromszögből

O_{2} M

Pythagoras-tétellel kiszámítható:

\begin{matrix} O_{2} M = \sqrt[]{{(2, 4 ϱ)}^{2} + ϱ^{2}} = \sqrt[]{6, 76 ϱ^{2}} = 2, 6 ϱ . \end{matrix}

Az érintési pontokba húzott sugarak két hasonló derékszögű háromszöget hoznak létre, ezek megfelelő oldalainak aránya megegyezik:

\begin{matrix} ϱ : 2, 6 ϱ = (ϱ + 5) : (2 ϱ + 5 + 2, 6 ϱ), \end{matrix}

azaz a beltagok és kültagok szorzatát képezve

\begin{matrix} 2, 6 ϱ^{2} + 13 ϱ = 4, 6 ϱ^{2} + 5 ϱ . \end{matrix}

Összevonás után rendezve és

ϱ (\neq 0)

-val végigosztva az egyenletet kapjuk, hogy

\begin{matrix} ϱ = 4 \end{matrix}

A kisebbik kör sugara tehát 4 cm, a nagyobbik pedig 9 cm.

Angermayer Etelka (Mosonmagyaróvár, Kossuth g. I. o. t.)