Kezdőlap


Feladat:	460. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Komlós János , Kovács Margit
Füzet:	1958/szeptember, 20 - 21. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Teljes indukció módszere, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 460. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha $n$ páros, akkor $A$ így írható:

\begin{matrix} A = 12 n^{2} + 8 n + [9 + 7] \cdot 2. \end{matrix}

n

páros volta miatt

n^{2}

4-gyel is osztható. Így 12

n^{2}

osztható 16-tal. Mivel

8 n

is, az utolsó tag is osztható 16-tal, ezért maga A is osztható.
Legyen

n

páratlan, akkor

\begin{matrix} A = 12 n^{2} + 8 n - 4 = 4 (3 n^{2} + 2 n - 1) = 4 (3 n - 1) (n + 1) . \end{matrix}

Páratlan

n

esetén (

n + 1

) és (

3 n - 1

) párosak, tehát

A

osztható

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

-tal.
Ezzel állításunkat igazoltuk. Mivel a bizonyításban sehol nem használtuk ki, hogy

n

pozitív páros vagy páratlan szám,

A

16-tal való oszthatóságát negatív egész

n

-ekre és 0-ra is bizonyítottuk. A tétel tehát minden egész számra érvényes.

Kovács Margit (Szombathely, Savaria g. II. o. t.)

II. megoldás: Teljes indukcióval igazoljuk a 16-tal való oszthatóságot

n

-nek nem-negatív értékeire.

n = 0

esetén a vizsgált kifejezés értéke 32,

n = 1

esetén pedig 16. Mindkét esetben 16-tal osztható számot kaptunk.
Tegyük fel, hogy

n = k

-ra érvényes az állításunk. Bizonyítjuk, hogy ebből

n = k + 2

-re is következik az érvényessége. A kifejezés értéke

n = k + 2

esetén így alakítható:

\begin{matrix} A & = 12 {(k + 2)}^{2} + 8 (k + 2) + {(- 1)}^{k + 2} [9 + {(- 1)}^{k + 2} \cdot 7] \cdot 2 = \\ = 12 (k^{2} + 4 k + 4) + 8 k + 16 + {(- 1)}^{k} [9 + {(- 1)}^{k} \cdot 7] \cdot 2 \end{matrix}

(mivel

k

és (

k + 2

) egyenlő párosságúak,

{(- 1)}^{k + 2} = {(- 1)}^{k}

.
Tovább alakítva:

\begin{matrix} A = {12 k^{2} + 8 k + {(- 1)}^{k} [9 + {(- 1)}^{k} \cdot 7] \cdot 2} + (48 k + 64) . \end{matrix}

A kapcsos zárójelben levő részről feltettük, hogy osztható 16-tal, a második rész szintén osztható, hisz mindkét tagban maradék nélkül megvan a 16.
Ezzel igazoltuk, hogy ha egy számra igaz az állításunk, akkor az ennél 2-vel nagyobb számra is igaznak kell lennie. Mivel

n = 0

-ra, és

n = 1

-re igaz, ezzel minden páros és páratlan pozitív számra bizonyítottuk.

Komlós János (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)