Kezdőlap


Feladat:	459. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Máthé Csaba , Perneczky András
Füzet:	1958/szeptember, 19 - 20. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 459. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A zárójelek felbontásával könnyen meggyőződhetünk arról, hogy a baloldali tört számlálójában álló $n^{3} - 3 n - 2$ mennyiség a következő szorzattá alakítható:

\begin{matrix} n^{3} - 3 n - 2 = {(n + 1)}^{2} (n - 2) . \end{matrix}

Ugyanígy a nevezőben:

\begin{matrix} n^{3} - 3 n + 2 = {(n - 1)}^{2} (n + 2) . \end{matrix}

Így a baloldalon álló törtet a következőképpen alakíthatjuk (felhasználva mindjárt a két szám négyzetének különbségére vonatkozó azonosságot is):

\begin{matrix} \frac{{(n + 1)}^{2} {(\sqrt[]{n - 2})}^{2} + (n - 1) (n + 1) \sqrt[]{(n - 2) (n + 2)}}{{(n - 1)}^{2} {(\sqrt[]{n + 2})}^{2} + (n - 1) (n + 1) \sqrt[]{(n - 2) (n + 2)}} = & (1) \\ = \frac{(n + 1) \sqrt[]{n - 2}}{(n - 1) \sqrt[]{n + 2}} \cdot \frac{(n + 1) \sqrt[]{n - 2} + (n - 1) \sqrt[]{n + 2}}{(n - 1) \sqrt[]{n + 2} + (n + 1) \sqrt[]{n - 2}} \end{matrix}

A második tört számlálójában és nevezőjében felcserélt sorrendben ugyanaz a két tag áll, így értéke azonosan 1. A kérdéses tört tehát minden

n

-re

\frac{(n + 1) \sqrt[]{n - 2}}{(n - 1) \sqrt[]{n + 2}}

-vel egyenlő. Ezzel épp a kívánt azonosságot igazoltuk.
A bizonyított azonosság (valós számok körében) nincs értelmezve olyan

n

-ekre, melyekre valamelyik gyök alatt negatív szám áll, vagy a nevező 0 lesz. Az (1) alakból látható, hogy gyök alatt negatív szám nem állhat, ha

n \geq 2

, s ezekre az

n

-ekre a nevező sem lehet 0.

Máthé Csaba (Győr, Révai g. II. o. t.)

II. megoldás: Az igazolandó azonosság bal oldalát 1-ből levonva

\begin{matrix} \frac{4}{n^{3} - 3 n + (n^{2} - 1) \sqrt[]{n^{2} - 4} + 2} \end{matrix}

(2)

adódik. A jobboldalt 1-ből levonva és azután a számlálót gyöktelenítve (annak megfelelően, hogy (2) számlálójában sem fordul elő négyzetgyök csak a nevezőjében):

\begin{matrix} \frac{(n - 1) \sqrt[]{n + 2} - (n + 1) \sqrt[]{n - 1}}{(n - 1) \sqrt[]{n + 2}} = \\ = \frac{{[(n - 1) \sqrt[]{n + 2}]}^{2} - {[(n + 1) \sqrt[]{n - 2}]}^{2}}{(n - 1) \sqrt[]{n + 2} [(n - 1) \sqrt[]{n + 2} + (n + 1) \sqrt[]{n - 2}]} = \\ = \frac{(n^{2} - 2 n + 1) (n + 2) - (n^{2} + 2 n + 1) (n - 2)}{{(n - 1)}^{2} (n + 2) + (n^{2} - 1) \sqrt[]{n^{2} - 4}} = \\ = \frac{(n^{3} - 3 n + 2) - (n^{3} - 3 n - 2)}{n^{3} - 3 n + 2 + (n^{2} - 1) \sqrt[]{n^{2} - 4}} = \frac{4}{n^{3} - 3 n + 2 + (n^{2} - 1) \sqrt[]{n^{2} - 4}} . \end{matrix}

Ezzel valóban a (2) kifejezést nyertük. Így a feladatban szereplő azonosság helyes minden olyan

n

-re, amelyre a szereplő négyzetgyöknek van értelme és amelyekre a nevező nem nulla. Ez fennáll, ha

n \geq 2

Perneczky András (Kaposvár, Táncsics g. II. o. t.)