Kezdőlap


Feladat:	458. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Kadosa , Hornyánszky Tamás
Füzet:	1958/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 458. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel mindkét oldalon pozitív mennyiségek állnak, elegendő a bizonyítandó egyenlőtlenség jobb- és baloldalának négyzetreemelésével keletkező egyenlőtlenséget igazolni:

\begin{matrix} a b + b c + a d + c d \geq a b + 2 \sqrt[]{a b c d} + c d, \end{matrix}

0-ra redukálva és összevonva:

\begin{matrix} a d - 2 \sqrt[]{a b c d} + b c \geq 0. \end{matrix}

A baloldalon teljes négyzet áll:

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a d} - \sqrt[]{b c})}^{2} \geq 0. \end{matrix}

Ez az egyenlőtlenség igaz, mert négyzetszám nem lehet negatív. Mivel csupa megfordítható lépéssel jutottunk el ehhez az egyenlőtlenséghez, így tehát az eredeti egyenlőtlenség is helyes.
Az egyenlőség jele akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} \sqrt[]{a d} = \sqrt[]{b c}, \end{matrix}

azaz ha

\begin{matrix} a d = b c . \end{matrix}

Hornyánszky Tamás (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: A bizonyítandó egyenlőtlenség baloldalán álló kifejezés így is írható:

\begin{matrix} \sqrt[]{(a + c) (b + d)} = \sqrt[]{a b + c d + a d + b c} . \end{matrix}

a d

és

b c

pozitív mennyiségekre érvényes a számtani mértani közép közti összefüggés:

\begin{matrix} a d + b c \geq 2 \sqrt[]{a d \cdot b c}, \end{matrix}

ennek fölhasználásával

\begin{matrix} \sqrt[]{(a + c) (b + d)} \geq \sqrt[]{a b + c d + 2 \sqrt[]{a b c d}} = \sqrt[]{{(\sqrt[]{a b} + \sqrt[]{c d})}^{2}} = \sqrt[]{a b} + \sqrt[]{c d} . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk a bizonyítandó egyenlőtlenséget. Egyenlőség akkor áll fenn, ha a számtani és mértani közép közt egyenlőség áll, azaz ha

\begin{matrix} a d = b c . \end{matrix}

Balogh Kadosa (Gyula, Erkel g. II. o. t.)