Kezdőlap


Feladat:	457. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Zsigmond Balassa
Füzet:	1958/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Szorzat, hatványozás azonosságai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/december: 457. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Alakítsuk át a jobboldalt a következőképpen (közben mindjárt végezzük el a lehetséges egyszerűsítéseket a törteknél a számlálóban ‐ nevezőben):

\begin{matrix} 4 + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) = 4 + (\frac{a}{c} + \frac{c}{a} + \frac{b^{2}}{a c} + \frac{a c}{b^{2}}) (\frac{c}{a} + \frac{a}{c}) = \\ = 4 + {(\frac{c}{a} + \frac{a}{c})}^{2} + \frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{c^{2}}{b^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + \frac{a^{2}}{b^{2}} . \end{matrix}

Mivel

\begin{matrix} 4 = 2 \cdot \frac{b c}{b c} + 2 \cdot \frac{a b}{a b}, \end{matrix}

a kifejezés így alakul:

\begin{matrix} \frac{a^{2}}{b^{2}} + 2 \cdot \frac{a b}{a b} + \frac{b^{2}}{a^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}} + 2 \frac{b c}{b c} + \frac{c^{2}}{b^{2}} + {(\frac{c}{a} + \frac{a}{c})}^{2} = \\ = {(\frac{a}{b} + \frac{b}{a})}^{2} + {(\frac{b}{c} + \frac{c}{b})}^{2} + {(\frac{c}{a} + \frac{a}{c})}^{2} . \end{matrix}

Ezzel épp a kívánt azonosságot igazoltuk.

Zsigmond Balassa (Győr, Czuczor g. II. o. t.)