Kezdőlap


Feladat:	455. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla , Wittmann Endre
Füzet:	1958/szeptember, 15 - 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Determinánsok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 455. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tudjuk, hogy egy determináns értéke nem változik meg, ha egyik sorához hozzáadunk egy másik sort vagy ennek többszörösét (lásd pl. Középisk. Mat. Lapok XV. (1957) 3‐4. sz. 81. o.). Adjuk a kiszámítandó $D$ determináns negyedik, harmadik, második sorához rendre a felettük levő sor ( $- 1$ )-szeresét, így az egymás alatti azonos tagok helyére 0 kerül:

\begin{matrix} D = | \begin{matrix} a_{1} & b_{1} & c_{1} & d_{1} \\ 0 & b_{2} - b_{1} & c_{2} - c_{1} & d_{2} - d_{1} \\ 0 & 0 & c_{3} - c_{2} & d_{3} - d_{2} \\ 0 & 0 & 0 & d_{4} - d_{3} \end{matrix} | \end{matrix}

Ha egy determinánsban a főátlóban álló elemek alatt álló minden elem 0, akkor a determináns értéke a főátlóban álló elemek szorzata (K. M. L. XV. 3‐4. sz. 80. o.), így determinánsunk értéke

\begin{matrix} D = a_{1} (b_{2} - b_{1}) (c_{3} - c_{2}) (d_{4} - d_{3}) . \end{matrix}

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere g. I. o. t.)

II. megoldás: Fejtsük ki a determinánst első sora szerint (l. lapunk előbbiekben is említett számát, 48. o.):

\begin{matrix} \begin{matrix} b_{2} c_{2} d_{2} & a_{1} c_{2} d_{2} & a_{1} b_{2} d_{2} & a_{1} b_{2} c_{2} \\ D = a_{1} & b_{2} c_{3} d_{3} & - b_{1} & a_{1} c_{3} d_{3} & + c_{1} & a_{1} b_{2} d_{3} & - d_{1} & a_{1} b_{2} c_{3} \\ b_{2} c_{3} d_{4} & a_{1} c_{3} d_{4} & a_{1} b_{2} d_{4} & a_{1} b_{2} c_{3} \end{matrix} . \end{matrix}

A két utolsó tag értéke 0, mert a bennük szereplő determinánsok két-két oszlopa arányos (l. az említett számban a 80. o.).
Az első tagban szereplő determináns első oszlopából

b_{2}

-t, a második determináns első oszlopából

a_{1}

-et emelhetünk ki, ekkor a két tag determináns szorzója megegyezik. Ezt és

a_{1}

-et kiemelve, és a determinánst első sora szerint ismét kifejtve, majd az első sorok szerint kifejtve:

\begin{matrix} D = a_{1} (b_{2} - b_{1}) | \begin{matrix} 1 & c_{2} & d_{2} \\ 1 & c_{3} & d_{3} \\ 1 & c_{3} & d_{4} \end{matrix} | = a_{1} (b_{2} - b_{1}) (| \binom{c_{3}}{c_{3}} \binom{d_{3}}{d_{4}} | - c_{2} | \binom{1}{1} \binom{d_{3}}{d_{4}} | + d_{2} | \binom{1}{1} \binom{c_{3}}{c_{3}} |) = \\ = a_{1} (b_{2} - b_{1}) (| \binom{c_{3}}{c_{3}} \binom{d_{3}}{d_{4}} | - c_{2} | \binom{1}{1} \binom{d_{3}}{d_{4}} |), \end{matrix}

mert a zárójelben levő harmadik tag ismét 0. Így újabb kiemelések és összevonások után:

\begin{matrix} D = a_{1} (b_{2} - b_{1}) (c_{3} - c_{2}) | \binom{1}{1} \binom{d_{3}}{d_{4}} | = a_{1} (b_{2} - b_{1}) (c_{3} - c_{2}) (d_{4} - d_{3}) . \end{matrix}

Wittmann Endre (Veszprém, Lovassy g. I. o. t.)

Megjegyzés: Az I. megoldás gondolatmenetén láthatjuk, hogy pontosan ugyanígy számíthatjuk ki egy olyan

n

-edrendű determináns értékét is, amelynek az utolsó sora az előtte levőtől legfeljebb csak az utolsó elemben különbözik, és tovább fölfelé haladva minden sor az előtte levőtől eggyel-eggyel több elemmel térhet el.