Feladat: 453. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Gönci László 
Füzet: 1958/szeptember, 13 - 15. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Forgatva nyújtás, Egyenes, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/november: 453. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha megrajzolunk egy tetszőleges, a feladatnak megfelelő ABCDEF szabályos hatszöget, az e köré írható kör szimmetrikus az O-t tartalmazó o egyenesre, s így átmegy az A pontnak az o egyenesre való P tükörképén is (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Mivel az AB ívhez tartozó középponti szög 60∘, így P pontból az AB ívhez tartozó kerületi szög 30∘ vagy 180∘-30∘=150∘. Így a hatszög B csúcsa (akárhol van is O az o egyenesen), rajta van egy, a rögzített PA egyeneshez képest 30∘-kal elforgatott b egyenesnek P-hez viszonyítva egyik vagy másik oldalán.
Ugyanígy az AC ívhez tartozó középponti szög 120∘, s így P-ből AC-t 60∘-os, vagy 180∘-60∘=120∘-os kerületi szög alatt látjuk, tehát C mindig rajta lesz a rögzített PA-hoz képest 60∘-kal elforgatott c egyenesen (az elfordítás iránya ugyanaz, mint amellyel b-t is elforgattuk).
A D, E, F pontokhoz tartozó középponti szög mindig 60∘-kal növekszik az előzőhöz viszonyítva, s így ezek a pontok is egy-egy, a P-n átmenő egyenesen helyezkednek el, amelyek az előzőhöz képest mindig 30∘-kál vannak elfordítva.
Ezzel a feladat állítását igazoltuk.
 

Gönczi László (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

 

II. megoldás: A 2. ábrán megrajzoltunk két, a feladatnak megfelelő ABCDEF és A'B'C'D'E'F' hatszöget.
 
 
2. ábra
 

A B pontot a hatszög köré írt kör O középpontjából úgy kapjuk, hogy az AO szakaszt 60∘-kal elforgatjuk. Ugyanígy kapjuk az O' pontból a B' pontot is (az elforgatás iránya is egyező lesz a két hatszögnél, feltéve, hogy a megbetűzés ugyanolyan körüljárás szerint történik). Ha egy egyenes pontjait 60∘-kal elforgatjuk, a kapott pontok újra egy egyenesen sorakoznak.
Az O pontból a C (illetőleg O'-ből a C') pontot úgy kapjuk, hogy 30∘-kal elforgatjuk, és mindig ugyanabban az arányban megnyújtjuk (hiszen az OAC és O'AC' háromszögek hasonlóak egymáshoz). Egy egyenes pontjait egy pont körüli forgatva nyújtás ismét egy egyenes pontjaiba viszi át, a C pontok is egy egyenesen sorakoznak.
A D, E, F pontok hasonlóképpen az o egyenes pontjaiból kaphatók forgatva nyújtással, s így ezek is egy-egy egyenesen sorakoznak.
Az eredményül kapott öt egyenes könnyen meghatározható, ha a 3. ábrán látható, o-ra tükrös helyzetű két hatszöget vesszük fel (egyiknek középpontja a másiknak csúcsa).
 
 
3. ábra
 

Látható, hogy a BB', CC', DD', EE' és FF' egyenesek mind egy ponton mennek át, ez a pont az A pontnak o-ra vonatkozó tükörképe.
Ezzel feladatunkat meg is oldottuk.
 

Megjegyzés: A feladat állítása (és mindkét bizonyítása) tetszőleges n-oldalú, szabályos sokszögre is érvényes. A PA egyenesből kiindulva 180∘n szöggel elfordított egyeneseken sorakoznak a kívánt n-szögek csúcsa