Feladat: 452. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Bleyer András ,  Dömötör Gyula 
Füzet: 1958/szeptember, 13. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Súlyvonal, Párhuzamos szelők tétele, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/november: 452. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Messék az OB és OC szakaszok felezőmerőlegesei a BC oldalt a D és E pontban (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Mivel FD és GE felezőmerőlegesek, azért a BOD és COE háromszögek egyenlő szárúak. Az egyenlő szárú háromszögek alapjain levő szögek mind 30∘-osak, mert a BO és CO egyenesek felezik az ABC egyenlő oldalú háromszög 60∘-os szögeit. Az ODE és OED szögek külső szögei a BOD és COE egyenlő szárú háromszögeknek, s így a nem mellettük fekvő két 30∘-os szög összegével egyenlőek: 60∘-osak. Az OED háromszög tehát egyenlő oldalú, s mivel OD és OE oldalai a BD és EC szakaszokkal egyenlőek, így az ugyanolyan hosszú DE szakasz is megegyezik ezekkel. A felező merőlegesek tehát valóban 3 egyenlő részre osztják a BC oldalt.
 

Dömötör Gyula (Szeged, Radnóti g. I. o. t.)

 
 
2. ábra
 

II. megoldás: A 2. ábrán csak az egyik súlyvonalat húztuk meg. Az O a súlyvonalnak kétharmad részén van, az OB szakasz F felezőpontja tehát a súlyvonal harmadrészén. A súlyvonal egyben magasság is, ezért merőleges az AC oldalra. Az FD felezőmerőleges tehát párhuzamos az AC oldallal. Egy szög szárait metsző párhuzamosokra vonatkozó tétel értelmében az FD felezőmerőleges a szög BC szárát is harmadolja.
Ugyanezt elmondhatjuk a másik felezőmerőlegesről is. Ezzel állításunkat bizonyítottuk.
 

Bleyer András (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)