Kezdőlap


Feladat:	450. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Németh Judit
Füzet:	1958/szeptember, 11 - 12. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 450. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel $1957 = 19 \cdot 103$ , és itt 19 és 103 prímszámok, tehát egymáshoz relatív prímek, így elég annyit megmutatni, hogy $N$ osztható 19-cel és osztható 103-mal. Írjuk az adott kifejezést a következőképpen:

\begin{matrix} N = (2092^{n} - 78^{n}) - (1989^{n} - 1932^{n}) . \end{matrix}

Tudjuk, hogy (

a^{n} - b^{n}

) mindig osztható (

a - b

)-vel. Így az első zárójelben levő különbség osztható

2092 - 78 = 2014 = 19 \cdot 106

-tal, a második

1989 - 1932 = 57 = 19 \cdot 3

-mal.

N

tehát osztható 19-cel.
Kifejezésünket másképpen csoportosítva:

\begin{matrix} N = (2092^{n} - 1989^{n}) + (1932^{n} - 78^{n}) . \end{matrix}

Itt az első különbség osztható

2092 - 1989 = 103

-mal, a második

1932 - 78 = 1854 = 18 \cdot 103

-mal. Ebből látható, hogy

N

osztható 103-mal is.

Németh Judit (Kecskemét, Közg. techn. III. o. t.)

Megjegyzés: Állításunkat igazolhatjuk teljes indukcióval is. Mivel az így nyerhető bizonyítás ugyancsak a fenti megoldásban használt oszthatósági tételre támaszkodik (s az előzőnél jóval nehézkesebb is), ezt a megoldást nem közöljük.