Kezdőlap


Feladat:	449. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Fábián Gábor
Füzet:	1958/szeptember, 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 449. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Minden egész szám a 3-mal való osztás szempontjából vagy $3 k$ , vagy $3 k + 1$ , vagy $3 k - 1$ alakú. A bizonyítandó állítás tehát úgy fogalmazható, hogy a megadott számok vagy oszthatók 3-mal, vagy levonva belőlük 1-et kapunk 3-mal osztható számot.
Ez $n^{2}$ -re világos, mert $n^{2} - 1 = (n - 1) (n + 1)$ és három egymás utáni egész szám, pl. $n - 1$ , $n$ és $n + 1$ közül az egyik osztható 3-mal, tehát vagy $n^{2}$ , vagy $n^{2} - 1$ osztható 3-mal (az utóbbi esetben $n^{2} 3 k + 1$ alakú).
Az $\frac{n (n - 1)}{2}$ szám egész, mert a számláló valamelyik tényezője páros. Ha $n - 1$ vagy $n$ osztható 3-mal, akkor a szám osztható 3-mal. Ha viszont $n + 1$ osztható 3-mal, akkor

\begin{matrix} \frac{n (n - 1)}{2} - 1 = \frac{n^{2} - n - 2}{2} = \frac{(n - 2) (n + 1)}{2} \end{matrix}

osztható 3-mal. Ezzel a feladat állítását igazoltuk.

Fábián Gábor (Győr, Bencés g. I. o. t.)