Kezdőlap


Feladat:	448. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gáll Endre
Füzet:	1958/szeptember, 10 - 11. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Mértani sorozat, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/november: 448. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

a) A feladat nyilván a pozitív egész számokra vonatkozik. Ezek között 9 egyjegyű szám van. A kétjegyű számok számát megkaphatjuk, ha az 1 és 99 közti összes egészek számából levonjuk az egyjegyűek számát, tehát 90 kétjegyű szám van. Ugyanígy a háromjegyű természetes számok száma $999 - 99 = 900$ . Mivel az utolsó ( $n - 1$ )-jegyű szám $10^{n - 1} - 1$ , az utolsó $n$ -jegyű szám pedig $10^{n} - 1$ , ezért az $n$ -jegyű pozitív egészek száma a kettő különbsége:

\begin{matrix} 10^{n} - 1 - (10^{n - 1} - 1) = 10^{n} - 10^{n - 1} = 10^{n - 1} (10 - 1) = 9 \cdot 10^{n - 1} . \end{matrix}

b) Az

n

-jegyű számok leírásához szükséges számjegyek számát megkapjuk, ha

n

-et megszorozzuk az

n

-jegyű számok számával,

9 \cdot 10^{n - 1}

-nel. így az 1-től

10^{n}

-ig terjedő (1, 2, 3,

...

n

jegyű) számok leírásához szükséges jegyek száma:

\begin{matrix} S_{n} = 1 \cdot 9 + 2 \cdot 9 \cdot 10 + 3 \cdot 9 \cdot 10^{2} + ... + n \cdot 9 \cdot 10^{n - 1} . \end{matrix}

Ezzel a feladatot voltaképpen meg is oldottuk. Megtehetjük még azt, hogy az összeget zárt alakban is előállítjuk. Az a) kérdésnél már láttuk, hogy az

n

-jegyű számok száma:

9 \cdot 10^{n - 1}

így is írható:

10^{n} - 10^{n - 1}

.
A keresett összeg ennek alapján:

\begin{matrix} S_{n} = 1 (10^{1} - 10^{0}) + 2 (10^{2} - 10^{1}) + 3 (10^{3} - 10^{2}) + ... + n (10^{n} - 10^{n - 1}) . \end{matrix}

Bontsuk fel a zárójeleket és 10 egyenlő hatványait vonjuk össze:

\begin{matrix} S_{n} = - 10^{0} + (1 - 2) 10^{1} + (2 - 3) 10^{2} + ... + (n - 1 - n) 10^{n - 1} + & (1) \\ + n \cdot 10^{n} = n \cdot 10^{n} - (10^{0} + 10^{1} + 10^{2} + ... + 10^{n - 1}) . \end{matrix}

A zárójeles rész egy

n

-tagú mértani sor, az összegképlet felhasználásával:

\begin{matrix} S_{n} = n \cdot 10^{n} - \frac{10^{n} - 1}{9} . \end{matrix}

Ezzel az összeget zárt alakban is előállítottuk.

Gáll Endre (Bp. XI., József A. g. I. o. t.)