Kezdőlap


Feladat:	447. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla
Füzet:	1958/április, 120 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Súlypont, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 447. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ oldalainak felezőpontjait $A_{1}$ , $B_{1}$ , $C_{1}$ -gyel (l. az ábrát).

A felezőpontok által alkotott

{A_{1} B_{1} C_{1}}_{▵}

hasonló az eredeti

A B C

háromszöghöz, megfelelő oldalaik párhuzamosak és arányuk

1 : 2

.
A

P A B

P B C

és

P C A

háromszögek súlypontjai rendre a

P C_{1}

P A_{1}

P B_{1}

szakaszoknak a

P

-től a távolság

2 / 3

-ára levő pontok. Ebből következik, hogy a három súlypont által meghatározott háromszög az

A_{1} B_{1} C_{1}

háromszögnek a

P

hasonlósági pontra vonatkoztatott

2 : 3

arányú kicsinyítésével keletkezik, azaz (az eredetivel összehasonlítva) a súlypontok alkotta háromszög és az

A B C

háromszög hasonlóak, megfelelő oldalaik párhuzamosak és arányuk

1 : 3

.
Ha

P

A B C

háromszög valamelyik oldalán van, akkor a

P A B

P C A

P B C

háromszögek közül egy vagy kettő egyenesszakasszá fajul. Ha ilyen esetben a súlypontot a háromszög

P

csúcsát a ,,szemközti oldal'' (= az

A B C

valamelyik oldala) felezőpontjával összekötő szakasz harmadolópontjaként definiáljuk, állításunk szintén érvényes marad.
Ezzel bizonyítottuk, hogy a szóbanforgó három súlypont által alkotott háromszög nagysága nem függ a

P

helyzetétől, oldalai mindig párhuzamosak az

A B C

oldalaival és annak egyharmadára való kicsinyítésével keletkeznek.

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere g. I. o. t.)

Megjegyzések: A feladat ‐ változatlan bizonyítással ‐ általánosítható bármely sokszögre: ha a sokszög oldalainak végpontjait a

P

ponttal összekötjük, a kapott háromszögek súlypontjai olyan sokszöget határoznak meg, amely hasonló az eredeti sokszög oldalfelező pontjai által alkotott sokszöghöz (megfelelő oldalaik párhuzamosak) és annak

2 : 3

arányú kicsinyítésével keletkezik. A

P

mozgatásával kapott súlypont-sokszögek tehát mind egybevágóak, sőt párhuzamos állásúak. Az alapsokszöghöz azonban ma már nem lesznek általában hasonlók.
Átvihető a feladat állítása térben tetraéderre is.