Feladat: 444. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Kovács Zoltán ,  Náray Szabó Gábor ,  Raisz Klára 
Füzet: 1958/május, 154 - 155. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Szögfelező egyenes, Beírt kör, Hozzáírt körök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/október: 444. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A két egyenlőség ugyanazt a tételt mondja ki, elég tehát pl. az AO és az AOb szakaszok egyenlőségét igazolni.
Az 1. ábrán megrajzoltuk a derékszögű háromszöget és az AC oldalhoz a belső és a külső érintő kört.

 
 
1. ábra
 

Az Ob körközéppont rajt van a derékszögű háromszög A csúcsában levő külső szögfelezőn, azonkívül a B csúcsnál levő β szög szögfelezőjén. Az utóbbi szögfelezőn van rajt az O középpont is, B, O és Ob tehát egy egyenesbe esnek. Az O ezenkívül rajta van az A csúcsban húzott belső szögfelezőn is. Mivel a belső és külső szögfelező merőlegesek egymásra, az OAOb háromszög derékszögű. A háromszög O-nál levő két íves szöge külső szöge az AOB háromszögnek, nagysága tehát
α2+β2=45∘.

Így az OAOb derékszögű háromszög Ob-nél levő harmadik szöge is 45∘, a háromszög egyenlő szárú. Az AO és AOb oldalaik tehát egyenlőek, amint azt állítottuk.
 

Raisz Klára (Miskolc, Zrínyi Ilona lg. II. o. t.)
 

II. megoldás: Rajzoljuk meg az O középpontú beírt körnek és az Ob középpontú érintő körnek az AC befogón levő érintési pontját (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Mint ismeretes (s az érintőszakaszok egyenlőségével könnyen bizonyítható) derékszögű háromszögnél a beírt kör sugara az s félkerülettel és a c átfogóval kifejezve.
ON=s-c,
a kívül írt körnél az AM szakasz hossza ugyanennyi:
AM=s-c.

AM tehát megegyezik ON-nel. Mivel az AON és az ObAM háromszögekben a szögek is egyenlőek (merőleges szárú szögek), a két háromszög egybevágó, többi megfelelő oldalaik is megegyeznek:
AO=AOb.

Kovács Zoltán (Balassagyarmat, Balassa g. I. o. t.)
 

III. megoldás: Az 1. ábrán meghúztuk a C csúcsból az O-ba vezető belső, s az Ob-be vezető külső szögfelezőt. Ezek egymással derékszöget zárnak be, s így az AOCOb négyszög húrnégyszög, hiszen két szemközti szöge 90∘-os. AC viszont felezi a húrnégyszög C-nél levő szögét, s így felezi a húrnégyszög köré írt kör A-t tartalmazó OOb ívét is. Ebből már következik, hogy A valóban egyenlő távol van O-tól és Ob-től.
 

Náray Szabó Gábor (Bp. XI., József A. g. I. o. t.)

 

Megjegyzés: A III. megoldásból közvetlenül látszik, hogy a tétel megfordítható a következőképpen. Ha egy háromszög egyik oldalát érintő két kör középpontja az oldal egyik végpontjától egyenlő távolságra van, akkor a háromszögnek az oldal másik végpontjában levő szöge derékszög.