Kezdőlap


Feladat:	443. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bollobás Béla
Füzet:	1958/április, 117 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 443. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Jelöljük az ismeretlen mennyiségeket $x$ , $y$ , $z$ , $t$ , $u$ , $v$ -vel, olyan sorrendben, ahogy az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Igyekezzünk egy-egy sor oszlop, illetőleg átló összegének egyenlőségét úgy fölírni, hogy egy ismeretlen mindig közös legyen s ezenkívül csak egy ismeretlen maradjon, amit így kiszámíthatunk. Az első sor és oszlop-összeg egyezéséből:

\begin{matrix} x + a + b = x + y + c, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} y = a + b - c . \end{matrix}

A második sort és egyik átlót összehasonlítva:

\begin{matrix} y + z + t = b + z + c, \end{matrix}

ebből

y

értékének fölhasználásával:

\begin{matrix} t = 2 c - a . \end{matrix}

A harmadik sorból és harmadik oszlopból

\begin{matrix} u = b + t - c = b + c - a . \end{matrix}

Ugyanígy

\begin{matrix} b + z + c = x + a + b, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} z - x = a - c . \end{matrix}

A harmadik oszlop és a bal felső sarokból induló átló összehasonlításából látható, hogy

\begin{matrix} x + z = b + t = b + 2 c - a \end{matrix}

(fölhasználtuk a

t

-nek már kiszámított értékét). A két utóbbi egyenlet összeadásával, ill. kivonásával

\begin{matrix} z = \frac{b + c}{2}, x = \frac{b + 3 c - 2 a}{2} . \end{matrix}

A hiányzó

v

-t már akármelyik

v

-t tartalmazó és

v

-t nem tartalmazó sor, oszlop vagy átló összehasonlításából megkaphatjuk:

\begin{matrix} v = \frac{2 a + b - c}{2} . \end{matrix}

Most már felelni tudunk a feladat kérdésére: adott

a

b

c

mellett mindig írhatunk a táblázatba a követelményeknek megfelelő számokat. Ezek értékei természetesen a megadott

a

b

c

-től függenek, értéküket a 2. ábrán levő táblázatba foglaltuk össze.

2. ábra

Számolással ellenőrizhető, hogy valóban minden sor, oszlop és átló összege ugyanaz a

\frac{3 (b + c)}{2}

érték.

Bollobás Béla (Bp. V., Apáczai Csere g. I. o. t.)

II. megoldás: Kevesebb számolással is célhoz érünk, ha először az állandó összeget igyekszünk kiszámítani. Ehhez a következőképpen juthatunk el. Az összes sorok összege egyrészt az összes kockákban levő számok összegét adja, másrészt az egy sorban (vagy oszlopban, vagy átlóban) álló számok összegének a háromszorosát. Ha viszont a

z

-t tartalmazó sort, oszlopot és az átlókat összeadjuk, akkor egyrészt

3 z

-vel, másrészt az egy sorbeli összeggel többet kaptunk az előbbi összegnél. Eszerint

z

az állandó összeg harmadrésze, s így a jobb felső sarokból induló átlóban

b + c

ennek az összegnek kétharmada. A keresett összeg tehát

\frac{3}{2} (b + c)

és

\begin{matrix} z = \frac{b + c}{2} . \end{matrix}

Így az első sorból

x

-et, utána az első oszlopból

y

-t, a középső sorból

t

-t, az utolsó oszlopból

v

-t, majd az utolsó sorból

u

-t kiszámíthatjuk úgy, hogy mindegyiket egyenlővé tesszük a kapott állandó összeggel.

Megjegyzés: A beérkezett megoldásokból 216 hibás volt. Igen sok megoldó azzal indokolta a megoldhatóságot, hogy (ha a szereplő állandó összeget is ismeretlennek vesszük) a 7 ismeretlen meghatározására a sor-oszlop-átló összegek egyezésével 8 egyenletünk van. Ez nem bizonyítja a megoldhatóságot, mert az egyenletrendszer lehet ellentmondásos is! (Éppen az eggyel több egyenlet hozhatna ilyesmit könnyen létre, de ez még akkor is bekövetkezhetnék, ha nem volna több egyenletünk, mint amennyi az ismeretlen.)