Kezdőlap


Feladat:	442. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Mezey Ferenc , Mocskónyi Miklós
Füzet:	1958/április, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Egész együtthatós polinomok, Mértani sorozat, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/október: 442. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feladat felírásából látható, hogy a bal oldali tagok kitevői csak pozitív egész számok lehetnek, tehát $x$ csak pozitív lehet. Bontsuk tagokra a jobb oldali sorozatot:

\begin{matrix} 1 + a + a^{2} + ... + a^{2 x - 1} + a^{2 x} = 1 + a + a^{2} + ... + a^{14} + a^{15} . \end{matrix}

Két rendezett polinom csak úgy lehet azonosan egyenlő, ha tagról-tagra megegyeznek, tehát ha

\begin{matrix} a^{2 x} = a^{15} \end{matrix}

(ha ez teljesül, akkor már a többi tagok is egyeznek). Ha

a \neq \pm 1

vagy

0

, a kapott egyenlőségből következik, hogy

\begin{matrix} 2 x = 15, x = 7, 5. \end{matrix}

a = 1

esetén a jobb oldal értéke

16

, ezért az egyenlőség csak úgy teljesülhet, ha

2 x = 15

x = 7, 5

, mint előbb.

a = - 1

esetén a jobb oldal

0

, ami csak úgy lehet, ha

2 x

tetszőleges páratlan szám, vagyis

x = \frac{2 k + 1}{2}

(k = 0,1,2, ...)

, ha végül

a = 0

, akkor mindkét oldalon

1

áll, így

2 x

tetszőleges pozitív egész lehet, azaz

x = \frac{l}{2}

(l = 0,1,2,3 ...)

Mocskónyi Miklós (Bp. V, Eötvös g. II. o. t.)

II. megoldás: A baloldalon egy

a

hányadosú,

2 x + 1

tagú mértani sorozat áll. Ha

a \neq 1

, használhatjuk a mértani sorozat összegképletét:

\begin{matrix} \frac{a^{2 x + 1} - 1}{a - 1} = (1 + a) (1 + a^{2}) (1 + a^{4}) (1 + a^{8}) . \end{matrix}

Szorozzunk végig

(a - 1)

-gyel és használjuk föl ismételten a két szám összegének és különbségének szorzatára vonatkozó azonosságokat:

\begin{matrix} a^{2 x + 1} - 1 = (a^{2} - 1) (1 + a^{2}) (1 + a^{4}) (1 + a^{8}) = (a^{4} - 1) (a^{4} + 1) (a^{8} + 1) = \\ = (a^{8} - 1) (1 + a^{8}) = a^{16} - 1. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} a^{2 x + 1} = a^{16}, \end{matrix}

a \neq \pm 1

0

esetén innen

\begin{matrix} x = 7, 5. \end{matrix}

A kizárt esetek taglalását ugyanúgy végezhetjük el, mint az I. Megoldásban.

Mezey Ferenc (Bp. II, Rákóczi g. II. o. t.)