Kezdőlap


Feladat:	439. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balogh Anikó , Goldperger Katalin , Máthé Csaba
Füzet:	1958/április, 113 - 115. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 439. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Számítással oldjuk meg a feladatot. Ha a megszerkesztendő derékszögű háromszögben $α$ jelöli a nagyobbik hegyesszöget és $β$ a másikat, akkor egyrészt

\begin{matrix} α + β = 90^{\circ}, \end{matrix}

másrészt a feladat szerint

\begin{matrix} α - β = ε . \end{matrix}

A két egyenletet összeadva megkapjuk

α

értékét:

\begin{matrix} α = \frac{90^{\circ} + ε}{2} . \end{matrix}

α

ebből már megszerkeszthető. Az átfogó és

α

ismeretében az átfogó fölé rajzolt Thales-körből az átfogó végpontjához rajzolt a szög szára kimetszi a derékszögű csúcsot.
Mindig van egy megoldás, ha a nagyobbik szög,

α_{1}

45^{\circ}

és

90^{\circ}

közé esik:

\begin{matrix} 45^{\circ} < \frac{90^{\circ} + ε}{2} < 90^{\circ}, \end{matrix}

azaz ha

\begin{matrix} 0 < ε < 90^{\circ} . \end{matrix}

Balogh Anikó (Bp. V., Veres Pálné lg. I. o. t.)

II. megoldás: Rajzoljunk az átfogó fölé Thales-kört és tükrözzük a háromszöget az átfogó felező merőlegesére (1. ábra).

1. ábra

Az így kapott

C C'

húrhoz

α - β = ε

nagyságú kerületi szög, tehát

2 ε

nagyságú középponti szög tartozik.
A háromszög megszerkesztését ennek alapján a következőképpen végezhetjük el. A megadott átfogó felezőmerőlegesére a talpponttal mint csúccsal rámérjük az

ε

szöget. A megszerkesztett szögszáron a csúcstól az átfogó felényire levő pont a derékszög

C

csúcsa.
Egy megoldás van. A megoldhatóság feltételéül ugyanaz adódik, mint előbb.

Goldperger Katalin (Balassagyarmat, Ált. lg. I. o. t.)

III. megoldás: Ismét rajzoljunk az átfogóra Thales-kört (2. ábra).

2. ábra

Ha meghúzzuk a derékszögű csúcsból a magasságot, a keletkező

A C M ∢ = β

, mint

A B C

szögre merőlegesszárú szög. Kössük össze a derékszögű csúcsot a kör középpontjával, az így kapott

O A C_{▵}

egyenlő szárú, tehát

C

-nél levő szöge is

α

. Így

O C M ∢ = ε

.
Az

O C M

derékszögű háromszöget ezek alapján meg tudjuk szerkeszteni: átfogója az adott átfogó fele, egyik hegyesszöge pedig

ε

. Az

O C M

háromszög megszerkesztése után

O M

-re

O

-ból mindkét irányban felmérve a

\frac{c}{2}

távolságot, megkapjuk a háromszög hiányzó csúcsait.

IV. megoldás: A feladatot hasonlósággal is megoldhatjuk.
Ha az

A

csúcsban fölmérjük az átfogóra a

β

szöget (3. ábra), az így kapott

A A' C

háromszögnek ismerjük két szögét (

ε

-t és a derékszöget).

3. ábra

Tudunk szerkeszteni tehát egy hozzá hasonló háromszöget. Mivel az ábrán

A A' = A' B

, ezért a kapott hasonló háromszögben a

C A'

befogó megfelelőjének meghosszabbítására rámérjük az

A A'

oldal megfelelőjének hosszát. Így a megszerkesztendő

A B C_{▵}

-höz hasonlót kaptunk, ennek átfogóját a megadott nagyságra nagyítva megkapjuk a kívánt háromszöget.

Máthé Csaba (Győr, Révai G. II. o. t.)