Kezdőlap


Feladat:	438. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Fejes László , Hajna János
Füzet:	1958/április, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Párhuzamos szelők tétele, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Párhuzamos szelőszakaszok tétele, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/szeptember: 438. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Képzeljük megoldottnak a feladatot (lásd az 1. ábrát).

1. ábra

A párhuzamos szelők által létesített két háromszög:

O A C_{▵}

és

O B D_{▵}

hasonlóak, és így a megfelelő oldalak aránya egyenlő:

\begin{matrix} A C : B D = O A : O B, \end{matrix}

vagyis az

A C + B D = d

szakaszt

O A : O B

ismert arányban kell felosztanunk.
A szerkesztés menete tehát: először a

d

szakaszt felosztjuk a fenti arányban (ez történhet pl. hasonlóság segítségével). Utána az

O A

-nak megfelelő résszel

A

-ból,

O B

-nek megfelelő résszel

B

-ből rajzolt körívek metszik ki a másik szögszárból a

C

, ill.

D

pontot.
Ha az

A

-ból húzott körív érinti a szög másik szárát (s akkor a

B

-ből húzott is érinti), a feladatnak csak egy megoldása van. Ez akkor következik be, ha (

α

-val jelölve az adott szöget)

\begin{matrix} d = A C + B D = (O A + O B) sin α . \end{matrix}

d < (O A + O B) sin α

, a feladatnak nincs megoldása.
Ha viszont

d > (O A + O B) sin α

, akkor lehetséges az, hogy a kör egy második metszéspontban is metszi a másik szög szárát, de lehet, hogy csak a csúcson túl a meghosszabbítást metszi. Ha a szögszár meghosszabbításán levő metszéspontokat is elfogadjuk megoldásnak, akkor a feladatnak ez esetben mindig két megoldása van.
A szerkesztés és a megoldhatóság elemzése ugyanígy érvényben marad, ha az

α

szög tompaszög. (A körív érintésének esetében a kör csak a tompaszög szárának meghosszabbítását érinti, a tompaszöget

α

-val jelölve ez akkor következik be, midőn

d = (O A + O B) sin (180^{\circ} - α) = (O A + O B) sin α

. Sőt akkor is helyes, ha az

A

és

B

pont az egyik szögszáron és meghosszabbításán úgy helyezkednek el, hogy az

O

pont elválasztja őket.
A feladatot tovább általánosíthatjuk még úgy is, hogy nem két, hanem

n

pontot adunk meg a szögszáron:

A_{1}

A_{2}

...

A_{n}

. Ekkor a

d

szakaszt az

O A_{1} : O A_{2} : ... : O A_{n}

arányban

n

részre kell felosztani s a megfelelő szakaszokkal metszeni a másik szögszárat.

Fejes László (Makó, József A. g. II. o. t.)

II. megoldás: Újabb szerkesztési eljárást adunk arra az esetre, ha az

A

és

B

pontokat az

O

nem választja el.
Képzeljük megoldottnak a feladatot (2. ábra).

2. ábra

A B C D

négyszög trapéz, középvonala a két párhuzamos oldal összegének a fele, vagyis

\frac{d}{2}

hosszúságú.
Ennek alapján a szerkesztés: az

A B

szakasz

F

felezőpontjából

\frac{d}{2}

sugárral rajzolt kör metszi a másik szögszárat, az

F

pontot ezzel összekötve a trapéz középvonalát kaptuk meg. A középvonallal

A

-ból és

B

-ből húzott párhuzamosok lesznek a keresett egyenesek.
A megoldások számának elemzése ugyanúgy történhet, mint az I. megoldásban.

Hajna János (Pécs, Széchenyi g. II. o. t.)