Kezdőlap


Feladat:	431. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bartha L. , Bayer Magdolna , Dániel G. , Elbert Árpád , Endrödy Tamás , Fejes L. , Halász G. , Hornyánszky T. , Katona Gy. , Kisvölcsey J. , Koszterszitz Gy. , Lefkovitsch S. , Losonczy L. , Magos A. , Müller M. , Ortutay M. , Perneczky G. , Raisz Klára , Rátkay Zs. , S. Nagy Erzsébet , Soós S. , Szász D. , Szatmári G. , Tamás Gy. (Bp.) , Tamás Gy. (Ózd) , Tápai A.
Füzet:	1958/március, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 431. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A feltétel szerint

\begin{matrix} β = α + 3 γ = 180^{\circ} - β - γ + 3 γ = 180^{\circ} - β + 2 γ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} β = 90^{\circ} + γ, \end{matrix}

(1)

és így

\begin{matrix} α = 180^{\circ} - β - γ = 90^{\circ} - 2 γ . \end{matrix}

(2)

(1) szerint a háromszög

B

-nél levő szöge tompaszög. Egészítsük ki háromszögünket úgy, hogy

A

-ban merőlegest állítunk a

b

oldalra (1. ábra).

1. ábra

Messe ez az

a

oldalt

D

-ben. A

D A B ∢

nagysága (2) alapján

2 γ

. Ha az

A D B

háromszögben meghúzzuk az

A E

magasságot, a

D A E

szög, mint merőleges szárú szög, szintén

γ

. Az

A D B

háromszög tehát egyenlő szárú, mivel magassága az

A

-nál levő

2 γ

nagyságú szöget felezi. Így

A D = A B = c

.
A Pythagoras-tételből

\begin{matrix} D C = \sqrt[]{b^{2} + c^{2}}, \end{matrix}

az ábráról leolvashatóan

\begin{matrix} a = E C - E B = E C - E D . \end{matrix}

(3)

E C

és

E D

távolságokat kiszámíthatjuk a derékszögű háromszögben érvényes befogók és vetületeik közti összefüggésből:

\begin{matrix} E C = \frac{b^{2}}{\sqrt[]{^{2} + c^{2}}}, E D = \frac{c^{2}}{\sqrt[]{b^{2} + c^{2}}} . \end{matrix}

Ezt (3)-ba írva:

\begin{matrix} a = \frac{b^{2} - c^{2}}{\sqrt[]{b^{2} + c^{2}}} . \end{matrix}

Ezzel összefüggést találtunk a háromszög oldalai közt.

Elbert Árpád (Kaposvár, Közgazd. techn. III. o. t.)

II. megoldás: Az előző megoldásban bizonyítottuk, hogy

β = 90^{\circ} + γ

2. ábra

Ha tehát

B

-ben az

a

oldalra merőlegest állítunk, az így kapott

A D B

háromszög

B

-nél levő szöge

γ

(I. a 2. ábrát), s két szögük egyezése miatt:

\begin{matrix} A B C_{▵} \sim A D B_{▵}, \end{matrix}

ezért (l. az ábra jelöléseit)

\begin{matrix} c : A D = b : c és c : B D = b : a, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} A D = \frac{c^{2}}{b} és B D = \frac{a c}{b} . \end{matrix}

De a Pythagoras-tételt alkalmazva

C B D

derékszögű háromszögre

\begin{matrix} {(b - A D)}^{2} = a^{2} + B D^{2}, \end{matrix}

A D

és

B D

fenti értékeit beírva és

b^{2}

-tel végigszorozva:

\begin{matrix} {(b^{2} - c^{2})}^{2} = a^{2} b^{2} + a^{2} c^{2} = a^{2} (b^{2} + c^{2}) . \end{matrix}

Ezzel összefüggést állapítottunk meg a háromszög oldalai közt. (Látható, hogy ugyanazt az összefüggést kaptuk, mint az I. Megoldásban.)

Endrődy Tamás (Bp. III., Árpád g. II. o. t.)