Kezdőlap


Feladat:	427. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bognár László , Csernyánszky Mária
Füzet:	1958/március, 70 - 71. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 427. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Emeljük ki az egyenlet mindkét oldalán a második tagot:

\begin{matrix} 3^{2 x - 1} (3 + 1) = 2^{x + \frac{1}{2}} (2^{3} + 1), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} {(3^{2})}^{x - \frac{1}{2}} \cdot 2^{2} = 2^{x - \frac{1}{3}} \cdot 3^{2} . \end{matrix}

Mindkét oldalt

3^{2} \cdot 2^{2}

-nel osztva

\begin{matrix} 9^{x - \frac{3}{2}} = 2^{x - \frac{3}{2}} . \end{matrix}

Két különböző alapnak azonos kitevőjű hatványa csak úgy egyezhet, ha a kitevő 0, vagyis

\begin{matrix} x = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Bognár László (Veszprém, Lovassy g. II. o. t.)

II. megoldás: Az egyenletből kiemeléssel kapjuk, hogy

\begin{matrix} 3^{2 x} (1 + \frac{1}{2}) = 2^{x} \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{3} + 1), \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\frac{3^{2}}{2})}^{x} = {(\frac{9}{2})}^{x} = \frac{3^{3}}{2^{\frac{3}{2}}} = \frac{{(3^{2})}^{\frac{3}{2}}}{2^{\frac{3}{2}}} = {(\frac{9}{2})}^{\frac{3}{2}} . \end{matrix}

Ebből nyilván

\begin{matrix} x = \frac{3}{2} . \end{matrix}

Csernyánszky Mária (Bp. XVI., Corvin Mátyás g. I. o.)