Kezdőlap


Feladat:	426. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Füle Károly , Szatmári Gábor
Füzet:	1958/március, 69 - 70. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Exponenciális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 426. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ki kell zárnunk az $x = 0$ értéket, mert a $0^{0}$ jelnek nincs értelme. (Így $0$ még akkor sem megoldása az egyenletnek, ha mindkét oldalán ugyanaz az értelmetlen jel állna helyettesítés után.)
Emeljük mindkét oldalt négyzetre:

\begin{matrix} x^{2 \sqrt[]{x}} = {(\sqrt[]{x})}^{2 x} = x^{x} . \end{matrix}

Egyenlő alapú hatványok úgy lehetnek egyenlők, ha a kitevőik is megegyeznek, vagy ha az alap 1. Első esetben:

\begin{matrix} 2 \sqrt[]{x} = x, ebből x = 4. \end{matrix}

Második esetben:

\begin{matrix} x = 1. \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy mindkét érték megoldása az egyenletnek.

Szatmári Gábor (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)

II. megoldás: Az

x = 0

értéket ki kell zárnunk. Ha figyelembe vesszük még, hogy (valós megoldások esetén) a

\sqrt[]{x}

szereplése miatt

x > 0

kell, hogy legyen, akkor vehetjük mindkét oldal logaritmusát:

\begin{matrix} \sqrt[]{x} \cdot lg x = x lg \sqrt[]{x} = \frac{x}{2} lg x, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} lg x (\sqrt[]{x} - \frac{x}{2}) = lg x (2 - \sqrt[]{x}) \frac{\sqrt[]{x}}{2} = 0. \end{matrix}

Ez csak úgy lehet, mivel

x \neq 0

, ha vagy az első tényező 0, tehát

\begin{matrix} x = 1 \end{matrix}

vagy a második tényező, s akkor

\begin{matrix} x = 4. \end{matrix}

Füle Károly (Bp. V., Apáczai Csere g. II. o. t.)