Kezdőlap


Feladat:	423. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Gergely Csaba , Szatmári Attila
Füzet:	1958/január, 13 - 14. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/május: 423. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A nevezők 0 értékeit ki kell zárnunk, tehát $2 x \neq 3 y$ , $10 z \neq 3 y$ , $8 z \neq 3 y$ . A második és harmadik egyenlet összeadásával

\begin{matrix} \frac{7}{2 x - 3 y} - \frac{7}{10 z - 3 y} + \frac{8}{3 y - 8 z} = 8. \end{matrix}

ezt az első egyenlettel összehasonlítva:

\begin{matrix} \frac{5}{10 z - 3 y} = \frac{5}{3 y - 8 z} . \end{matrix}

Ez csak úgy állhat fönn, ha a nevezők egyenlők, amiből

\begin{matrix} y = 3 z . \end{matrix}

Helyettesítsük ezt a második egyenletbe:

\begin{matrix} \frac{2}{2 x - 9 z} - \frac{3}{z} + \frac{1}{z} = 0, \end{matrix}

ebből rendezés után adódik, hogy

\begin{matrix} x = 5 z . \end{matrix}

y

és

x

z

-vel kifejezett értékeit az első egyenletbe helyettesítve

\begin{matrix} \frac{7}{z} - \frac{2}{z} + \frac{3}{z} = 8, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} z = 1. \end{matrix}

Így

x = 5

és

y = 3

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy a fenti értékek valóban ki is elégítik egyenletrendszerünket.

Gergely Csaba (Bp. I., Toldy g. II. o. t.)

II. megoldás: Az

\begin{matrix} \frac{1}{2 x - 3 y} = a, \frac{1}{10 z - 3 y} = b és \frac{1}{3 y - 8 z} = c \end{matrix}

jelöléssel egyenletrendszerünkből a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} 7 a - 2 b + 3 c = 8, & (1) \\ 2 a - 3 b + c = 0, & (2) \\ 5 a - 4 b + 7 c = 8. & (3) \end{matrix}

Küszöböljük ki ezekből

c

-t úgy, hogy (1)-ből levonjuk (2) 3-szorosát, (3)-ból pedig (2) 7-szeresét:

\begin{matrix} a + 7 b & = 8, & (4) \\ - 9 a + 17 b & = 8. & (5) \end{matrix}

Adjuk (4) 9-szeresét (5)-höz:

\begin{matrix} 80 b = 80, b = 1. \end{matrix}

Ezt felhasználva (4)-ből, majd (2)-ből kapjuk, hogy

\begin{matrix} a = 1, c = 1. \end{matrix}

Felhasználva

a

b

c

jelentését s mindjárt a reciprokértékekre térve át

\begin{matrix} 2 x - 3 y & = 1, \\ 10 z - 3 y & = 1, \\ 3 y - 8 z & = 1. \end{matrix}

Ha az utóbbi két egyenletből kiszámítjuk

z

-t és

y

-t, aztán az elsőből

x

-et, az előző megoldásban kapott értékeket nyerjük:

\begin{matrix} x = 5, y = 3 és z = 1. \end{matrix}

Szatmári Attila (Bp. V., Eötvös g. I. o. t.)