|
Feladat: |
421. matematika gyakorlat |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bartha László , Békefi D. , Bender Cecilia , Dér A. , Elbert Á. , Fabók Julianna , Goldperger István , Grallert F. , Hajna J. , Heil Franciska , Kisvölcsey J. , Kolonits F. , Komlóssy Gy. , Kovács Margit , Losonczy L. , Mayer G. , Muszély Gy. , Nagy L. , Papp Éva , Perneczky G. , Simonfai L. , Svékus A. , Szatmári G. , Timár L. |
Füzet: |
1958/január,
10 - 12. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1957/április: 421. matematika gyakorlat |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás: Az 1. ábrán megrajzoltuk a megszerkesztettnek képzelt háromszöget s a köré írható kört. 1. ábra Húzzuk meg -ból a kör másik hosszúságú húrját, -t is. Egyenlő ívekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak, tehát az szög is , így a . Ebből leolvasható a szerkesztés menete. A körülírt kör sugarából és az adott szakaszból megszerkesztjük a derékszögű háromszöget, a körülírt kör és a meghosszabbításának a körrel való metszéspontjaként a pontot. A körön a pontot megszerkeszthetjük, ha mellé felmérjük -t. Végül a ív megfelezésével megkapjuk a megszerkesztendő háromszög harmadik csúcsát is. Az így kapott háromszög valóban megoldása a feladatnak, hiszen körülírt köre és a kör középpontjának távolsága az oldal felezőpontjától a feladatban megadott nagyságúak. A kerületi szögek tétele s a körív megfelezése következtében a háromszög szögével egyenlő, tehát a háromszög és szögének különbsége szintén az adott nagyságú . A feladat megoldhatóságához szükséges az, hogy 1) , 2) a megadott szög nem lehet nagyobb, mint a oldalnak a -ben húzott körérintővel alkotott nagyobbik szöge: , hiszen ellenkező esetben a szög szára nem metszi a kört. Vizsgáljuk meg a lehetséges megoldások számát. Ha a körérintő és a oldal egymással bezárt kisebbik szögét -vel jelölve , akkor megoldásunkban a -t csak egyirányban mérhetjük fel, a ívhez tartozó két felezőpont közül egyik a ponttal összeesik, tehát egy megoldás van, és a keresett háromszög derékszögű. Ha , akkor a -t szintén csak egyirányban mérhetjük fel. A húrhoz tartozó két ív megfelezésével két pontot kaphatunk, -t és A'-t. (Az eset összehasonlításával látható, hogy a szög nagyobbodásával most a és közelebb került -hez, tehát és a szakasz egyik oldalán helyezkednek el). Mivel , azért -t a háromszög nagyobbik szögének, -t a háromszög kisebbik szögének csúcsához kell írnunk. ‐ A meghosszabbítására tükrös helyzetű két háromszöghöz jutunk, ha az a oldal másik végpontjára mérjük fel -t, de az így kapott háromszögek az eddigiekkel egybevágóak. Feladatunknak ezesetben tehát két megoldása van. Ha , akkor a szakasz mindkét oldalára felmérhetjük a csúcsból a szöget (2. ábra), és így kapunk egy‐egy és pontot. 2. ábra Véve a -t nem tartalmazó és ívek és felező pontjait, továbbá azok és átellenes pontjait, négy háromszöget kapunk, azonban azok páronként egybevágók. Mivel ugyanis | | így egyet‐egyet véve a három körívből, ezek együtt félkört adnak. Félkört ad azonban szerkesztés szerint az , és összege is, így és hasonlóan . Így és , továbbá és egymás tükörképei felezőmerőlegesére, amint állítottuk.
Megjegyzés: A körérintő és az oldal szöge nem más, mint a megszerkesztett háromszög -nál levő szöge, hiszen egyenlő íveken nyugvó kerületi szögek egyenlőek.
Kovács Margit (Szombathely, Savaria g. I. o. t.) |
II. megoldás: A háromszög könnyen szerkeszthető oldala mint húr meghatározza a keresett háromszög harmadik csúcsánál levő szögét. Legyen a húrhoz tartozó hegyesszög, akkor vagy , vagy . Fölhasználva azt, hogy adott nagyságú, a két egyenletből pl. a kiszámítható. Első esetben második esetben: -t tehát meg tudjuk szerkeszteni, s abból a háromszöget is. Látható, hogy általában két megoldást kapunk. Van megoldása a feladatnak, ha vagy , azaz , ill. . Ez az I. megoldás végén tett megjegyzésünk alapján egyezik az ott kapott megoldhatósági feltétellel.
Goldperger István (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.) |
III. megoldás: Képzeljük megszerkesztettnek az háromszöget. Ha a oldal felezőmerőlegesére tükrözzük háromszögünket (3. ábra), az így létrejövő nagyságú lesz. 3. ábra Ez viszont, mint kerületi szög, akkora, mint az azonos íven nyugvó középponti szög fele, tehát szintén az adott nagyságú. A szerkesztés ennélfogva úgy történik, hogy a oldal és a körülírt kör megszerkesztése után -nál a oldal felezőmerőlegesére felmérjük -t, s a szög szára kimetszi a körből a háromszög harmadik csúcsát. Látható, hogy -t általában négyféleképp mérhetjük fel, de csak két lényegében különböző megoldás van. Az okoskodás visszafelé ismétlésével könnyen bizonyítható, hogy a kapott két háromszög valóban megfelel a követelményeknek. A diszkusszió ugyanúgy végezhető, mint az I. megoldásban
Bartha László (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.) |
|
|