Feladat: 421. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bartha László ,  Békefi D. ,  Bender Cecilia ,  Dér A. ,  Elbert Á. ,  Fabók Julianna ,  Goldperger István ,  Grallert F. ,  Hajna J. ,  Heil Franciska ,  Kisvölcsey J. ,  Kolonits F. ,  Komlóssy Gy. ,  Kovács Margit ,  Losonczy L. ,  Mayer G. ,  Muszély Gy. ,  Nagy L. ,  Papp Éva ,  Perneczky G. ,  Simonfai L. ,  Svékus A. ,  Szatmári G. ,  Timár L. 
Füzet: 1958/január, 10 - 12. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/április: 421. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Az 1. ábrán megrajzoltuk a megszerkesztettnek képzelt ABC háromszöget s a köré írható kört.

 
 
1. ábra
 
Húzzuk meg A-ból a kör másik AB hosszúságú húrját, AD-t is. Egyenlő ívekhez egyenlő kerületi szögek tartoznak, tehát az ABD szög is γ, így a DBC∢=β-γ(=δ).
Ebből leolvasható a szerkesztés menete. A körülírt kör sugarából és az adott KA1 szakaszból megszerkesztjük a KA1B derékszögű háromszöget, a körülírt kör és a BA1 meghosszabbításának a körrel való metszéspontjaként a C pontot. A körön a D pontot megszerkeszthetjük, ha B mellé felmérjük δ-t. Végül a BD ív megfelezésével megkapjuk a megszerkesztendő háromszög harmadik csúcsát is.
Az így kapott háromszög valóban megoldása a feladatnak, hiszen körülírt köre és a kör középpontjának távolsága az a oldal felezőpontjától a feladatban megadott nagyságúak. A kerületi szögek tétele s a BD körív megfelezése következtében ABD∢ a háromszög γ szögével egyenlő, tehát a háromszög β és γ szögének különbsége szintén az adott nagyságú δ.
A feladat megoldhatóságához szükséges az, hogy 1) KA1<r, 2) a megadott β-γ=δ szög nem lehet nagyobb, mint a BC oldalnak a B-ben húzott körérintővel alkotott nagyobbik szöge: α1, hiszen ellenkező esetben a δ szög szára nem metszi a kört.
Vizsgáljuk meg a lehetséges megoldások számát. Ha a körérintő és a BC oldal egymással bezárt kisebbik szögét α2-vel jelölve α2=δ, akkor megoldásunkban a δ-t csak egyirányban mérhetjük fel, a BD ívhez tartozó két felezőpont közül egyik a C ponttal összeesik, tehát egy megoldás van, és a keresett háromszög derékszögű.
Ha a2<δ<α1, akkor a δ-t szintén csak egyirányban mérhetjük fel. A BD húrhoz tartozó két ív megfelezésével két pontot kaphatunk, A-t és A'-t. (Az a2=δ eset összehasonlításával látható, hogy a δ szög nagyobbodásával most a D és A közelebb került B-hez, tehát A és A' a BC szakasz egyik oldalán helyezkednek el). Mivel β-γ=δ>0, azért B'-t a háromszög nagyobbik szögének, C'-t a háromszög kisebbik szögének csúcsához kell írnunk. ‐ A KA1 meghosszabbítására tükrös helyzetű két háromszöghöz jutunk, ha az a oldal másik végpontjára mérjük fel δ-t, de az így kapott háromszögek az eddigiekkel egybevágóak. Feladatunknak ezesetben tehát két megoldása van.
Ha δ<α2<α1, akkor a BC szakasz mindkét oldalára felmérhetjük a B csúcsból a δ szöget (2. ábra), és így kapunk egy‐egy D1 és D2 pontot.
 
 
2. ábra
 

Véve a C-t nem tartalmazó BD1 és BD2 ívek A1* és A2* felező pontjait, továbbá azok A1 és A2 átellenes pontjait, négy háromszöget kapunk, azonban azok páronként egybevágók. Mivel ugyanis
BA^1*=A1*D^1,D1C^=CD^2,D2A^2*=A2*B^,
így egyet‐egyet véve a három körívből, ezek együtt félkört adnak. Félkört ad azonban szerkesztés szerint az A2*D2^, D2C^ és CA'2^ összege is, így CA'2=BA1* és hasonlóan CA'1=BA2*. Így A1* és A'2, továbbá A2* és A'1 egymás tükörképei BC felezőmerőlegesére, amint állítottuk.
 

Megjegyzés: A körérintő és az a oldal α2 szöge nem más, mint a megszerkesztett ABC háromszög A-nál levő szöge, hiszen egyenlő íveken nyugvó kerületi szögek egyenlőek.
 

Kovács Margit (Szombathely, Savaria g. I. o. t.)

 

II. megoldás: A háromszög könnyen szerkeszthető BC oldala mint húr meghatározza a keresett háromszög harmadik csúcsánál levő szögét. Legyen α a BC húrhoz tartozó hegyesszög, akkor vagy β+γ=180∘-α, vagy β+γ=α. Fölhasználva azt, hogy β-γ=δ adott nagyságú, a két egyenletből pl. a γ kiszámítható. Első esetben
γ=180∘-a-δ2,
második esetben:
γ=a-δ2,
γ-t tehát meg tudjuk szerkeszteni, s abból a háromszöget is.
Látható, hogy általában két megoldást kapunk. Van megoldása a feladatnak, ha α-δ2>0 vagy 180∘-α-δ2>0, azaz δ<α, ill. δ<180∘-α.
Ez az I. megoldás végén tett megjegyzésünk alapján egyezik az ott kapott megoldhatósági feltétellel.
 

Goldperger István (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.)

 

III. megoldás: Képzeljük megszerkesztettnek az ABC háromszöget. Ha a BC oldal felezőmerőlegesére tükrözzük háromszögünket (3. ábra), az így létrejövő ABA*∢=β-γ nagyságú lesz.
 
 
3. ábra
 

Ez viszont, mint kerületi szög, akkora, mint az azonos íven nyugvó középponti szög fele, tehát AKE∢ szintén az adott β-γ=δ nagyságú.
A szerkesztés ennélfogva úgy történik, hogy a BC oldal és a körülírt kör megszerkesztése után K-nál a BC oldal felezőmerőlegesére felmérjük δ-t, s a szög szára kimetszi a körből a háromszög harmadik csúcsát.
Látható, hogy δ-t általában négyféleképp mérhetjük fel, de csak két lényegében különböző megoldás van. Az okoskodás visszafelé ismétlésével könnyen bizonyítható, hogy a kapott két háromszög valóban megfelel a követelményeknek.
A diszkusszió ugyanúgy végezhető, mint az I. megoldásban
 

Bartha László (Balassagyarmat, Balassa g. II. o. t.)