Kezdőlap


Feladat:	420. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Raisz Klára
Füzet:	1958/január, 9 - 10. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 420. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja.

S A B_{▵}

területe a keresett

A B C_{▵}

területének harmadrésze, mert

A B

oldaluk közös, a hozzátartozó magasságok aránya pedig (a súlyvonal-darabok arányával egyezően)

1 : 3

.
Az

S A B

háromszög területét a megadott

s_{a}

s_{b}

s_{c}

súlyvonalakból a következőképpen tudjuk kiszámítani. Ha az

S

pontot az

F

felezőpontra tükrözzük, akkor az így kapott

S' F A

háromszög az

S F B

háromszög tükörképe, s így az

S A S'

háromszög az

S A B

háromszöggel egyező területű, és oldalai rendre

\frac{2}{3} s_{a}

\frac{2}{3} s_{b}

\frac{2}{3} s_{c}

. Így az

S A S'

háromszög területe a Heron‐képlet felhasználásával:

\begin{matrix} t_{S A S' ▵} & = \sqrt[]{\frac{s_{a} + s_{b} + s_{c}}{3} (\frac{s_{a} + s_{b} + s_{c}}{3} - \frac{2 s_{a}}{3}) (\frac{s_{a} + s_{b} + s_{c}}{3} - \frac{2 s_{b}}{3}) (\frac{s_{a} + s_{b} + s_{c}}{3} - \frac{2 s_{c}}{3})} = \\ = \frac{1}{9} \sqrt[]{(s_{a} + s_{b} + s_{c}) (s_{b} + s_{c} - s_{a}) (s_{a} + s_{c} - s_{b}) (s_{a} + s_{b} - s_{c})} . \end{matrix}

A B C

háromszög területe ennek háromszorosa:

\begin{matrix} t_{A B C ▵} = \frac{1}{3} \sqrt[]{(s_{a} + s_{b} + s_{c}) (s_{b} + s_{c} - s_{a}) (s_{a} + s_{c} - s_{b}) (s_{a} + s_{b} - s_{c})} . \end{matrix}

Raisz Klára (Miskolc, Vámos I. lg. I. o. t.)