Feladat: 418. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1958/január, 7 - 8. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Elsőfokú diofantikus egyenletek, Szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/április: 418. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ajándékok száma a, a gyerekek száma g. Ha az első gyerek megtalált x1 tárgyat, akkor a-x1 tárgyat nem talált meg. Ugyanígy a második megtalált x2 tárgyat és nem talált meg a-x2-t, és i. t. Az összes meg nem talált ajándéktárgyak száma a-x1+a-x2+...+a-xg=ga-(x1+x2+...+xg)=ga-a. A maharadzsa a meg nem talált tárgyakért tehát összesen 2(ga-a) rupiát adott, viszont visszavont a megtalált a darabért összesen 5a rupiát, a kettő különbsége a feladat szerint 1957:

2(ga-a)-5a=1957,
ebből
a(2g-7)=1957.

A baloldalon mindkét tényező pozitív és egész. Mivel 1957 törzstényezős felbontása 103⋅19, azért az 1957-et két pozitív egész tényezőre csak kétféleképp lehet felbontani: 103⋅19 vagy 1957⋅1. Mivel minden gyerek legalább egy tárgyat talált, ezért az ajándékok száma nem lehet kisebb a gyerekekénél s így első esetben a=103 és g=13.
 

A két legkevésbé eredményes gyerek négy tárgyat talált és nem volt két gyerek, aki egyforma számút talált volna, ezért egyik 1, másik 3 tárgyat talált. A megmaradó 11 gyerek találta a többi 99-et. Minthogy 4+5+6+...+13+14=99, és más felbontás a feladat követelményeinek nem felel meg, a legeredményesebben kutató gyerek ez esetben 14 tárgyra talált rá.
Második esetben a=1957 és 2g-7=1-ből g=4. Az első két (legkevésbé eredményes) gyerek most is 1, illetőleg 3 tárgyat talált, a másik kettő együtt 1953 tárgyat talált, tehát a legügyesebb legalább 977-t, másrészt, mivel pajtása is legalább négy tárgyat talált, így ő legfeljebb 1949 tárgyat. Minden a kettő közé eső szám is megfelel a feltételeknek. ‐ Feladatunknak tehát több megoldása van.
 

Megjegyzés: A második lehetséges felbontásra egyetlen megoldó sem jött rá.