Kezdőlap


Feladat:	414. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gyene András , Perneczky Gábor
Füzet:	1957/december, 145 - 146. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevező gyöktelenítése, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/április: 414. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A második tényezőből látható, hogy $n$ csak páros szám lehet. Az egyenlőség baloldalán szereplő szorzat mindkét tényezőjét hozzuk egyszerűbb alakra úgy, hogy az egyes tagokban a nevezőt gyöktelenítjük. A közös nevező az első tényezőben $1$ , a másik tényezőben $2$ lesz. A számlálókban elvégezzük az összevonásokat. Ekkor $n$ -re másodfokú egyenletet kapunk:

\begin{matrix} (\frac{1}{\sqrt[]{1} + \sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} - 1} + \sqrt[]{n^{2}}}) \cdot (\frac{1}{\sqrt[]{2}} + \frac{1}{\sqrt[]{2} + \sqrt[]{4}} + \dots \\ + \frac{1}{\sqrt[]{n^{2} - 2} + \sqrt[]{n^{2}}}) = (\frac{\sqrt[]{2} - \sqrt[]{1}}{1} + \frac{\sqrt[]{3} - \sqrt[]{2}}{1} + \dots + \frac{\sqrt[]{n^{2}} - \sqrt[]{n^{2} - 1}}{1}) \cdot \\ \cdot (\frac{\sqrt[]{2}}{2} + \frac{\sqrt[]{4} - \sqrt[]{2}}{2} + \dots + \frac{\sqrt[]{n^{2}} - \sqrt[]{n^{2} - 2}}{2}) = \\ = \frac{- \sqrt[]{1} + \sqrt[]{n^{2}}}{1} \cdot \frac{\sqrt[]{n^{2}}}{2} = (n - 1) \frac{n}{2} = \frac{n^{2} - n}{2} = 45. \end{matrix}

Ebből

\begin{matrix} n_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt[]{1 + 8 \cdot 45}}{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} n_{1} = 10 és n_{2} = - 9. \end{matrix}

A feladat megoldásának csak az

n_{1} = 10

gyök felel meg, tehát van olyan pozitív szám, amelyre a feladat kikötése teljesül.

Perneczky Gábor (Kaposvár, Táncsics g. I. o. t.)

Megjegyzés: Felmerül a kérdés, vajon a feladatban szereplő

45

kitüntetett szám-e, vagy más

A

értékhez is található-e alkalmas

n

, és ha igen, akkor milyen értékekhez.
Ahhoz, hogy a keresett

n

természetes szám legyen, kell hogy a megoldás során kapott másodfokú egyenlet diszkriminánsa teljes négyzet, mégpedig páratlan szám négyzete legyen, vagyis

A

-nak a következő egyenletnek kell eleget tennie:

\begin{matrix} 1 + 8 A = {(2 l + 1)}^{2}, \end{matrix}

ebből

\begin{matrix} A = \frac{{(2 l + 1)}^{2} - 1}{8} = \frac{4 l^{2} + 4 l + 1 - 1}{8} = \frac{l (l + 1)}{2} . \end{matrix}

A

-ra nyert feltételünk így a következőképpen fogalmazható meg: minden olyan

A

-hoz, amelynek kétszerese két egymásután következő pozitív szám szorzataként írható fel, található olyan alkalmas

n

természetes szám, hogy a feladatban szereplő szorzat értéke éppen az adott

A

szám legyen.

Gyene András (Bp. VIII., Széchenyi g. II. o. t.)