Feladat: 412. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Elbert Árpád ,  Fabók Julianna ,  Pátkai István 
Füzet: 1957/december, 142 - 143. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Euler-egyenes, Körülírt kör, Feuerbach-kör, Magasságpont, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1957/március: 412. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ismeretes, hogy ha a háromszög magasságpontját egy oldalára tükrözzük, a tükörkép a körülírt körre esik. Ez megfordítva azt is jelenti, hogy az M magasságpont rajta van a körülírt körnek az a oldalra tükrözött képén. Ennek alapján a szerkesztés menete a következő.
Megrajzoljuk a körülírt kört s belehelyezzük az a oldalt. Az M magasságpont rajta van egyrészt a körülírt kör tükörképén, másrészt a kör középpontjától adott d távolságra van, tehát könnyen megszerkeszthető. Az M pont és az a oldal ismeretében a háromszög harmadik csúcsa egyszerűen szerkeszthető (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

Látható, hogy a feladat megoldhatóságához szükséges, hogy a≤2r legyen és a d sugarú körív messe a körülírt kör tükörképét. A megoldások száma 2, 1 vagy 0 aszerint, hogy a tükrözött körnek a d sugarú körrel 2, 1 vagy 0 közös pontja van (a=2r esetben a háromszög derékszögű és végtelen sok megoldás van). Ha 2 megoldás van, a két háromszög tükrös helyzetű és egybevágó.
 

Fabók Julianna (Ócsa, Bolyai g. II. o. t.)
 

II. megoldás: A háromszög Feuerbach-körének tulajdonságai közül a szerkesztéshez felhasználjuk azt, hogy áthalad a háromszög oldalfelező pontjain, középpontja a KM távolság felezőpontja és sugara r2.
Megrajzoljuk a körülírt r sugarú kört, abban az a oldalt (2. ábra).
 
 
2. ábra
 

Az a oldal felezőpontjából r2 sugárral, a K pont körül d2 sugárral rajzolt körök metszéspontja a Feuerbach-kör középpontja; ha a K-t erre tükrözzük, megkapjuk az M magasságpontot.
Ebből a háromszög szerkesztése, a megoldások elemzése ugyanúgy végezhető el, mint az I. megoldásban.
 

Pátkai István (Székesfehérvár, József A. g. II. o. t.)
 

III. megoldás: Ismeretes, hogy a háromszög köré írt kör K középpontja, az S súlypont és M magasságpont az ún. Euler-egyenesen helyezkednek el, és KM=3KS. Ugyanakkor a súlypont harmadoló tulajdonsága alapján FA=3FS (l. a 3. ábrát).
 
 
3. ábra
 

Tehát ha F-ből az FKS háromszöget vetítéssel háromszorosára nagyítjuk, K'A=3KS=KM=d lesz.
Ebből látható már a szerkesztés. Az a húr felezőpontján és K-n áthaladó egyenesre felmérjük a 3FK távolságot. Az így nyert K'-ből d sugárral rajzolt kör kimetszi a háromszög harmadik csúcsát, A-t.
A megoldások száma 2, 1 vagy 0, mint előbb.
 

Elbert Árpád (Kaposvár, Közgazd. techn. III. o. t.)