Kezdőlap


Feladat:	409. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Szász Domokos , Szatmári Gábor
Füzet:	1957/december, 139. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/március: 409. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Ha a gyökök $x_{1}$ , $x_{2}$ , akkor felhasználva a másodfokú egyenlet gyökeinek és együtthatóinak összefüggését:

\begin{matrix} x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} x_{2} = {(3 p - 2)}^{2} - 2 (- 7 p - 1) = \\ = 9 p^{2} + 2 p + 6 = {(3 p + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{53}{9} . \end{matrix}

A jobb oldal értéke nem-negatív, minimális akkor, ha

\begin{matrix} 3 p + \frac{1}{3} = 0; azaz p = - \frac{1}{9} . \end{matrix}

Mivel ennél a

p

értéknél az első tag

0

, a négyzetösszeg legkisebb értéke

\begin{matrix} \frac{53}{9} = 5 \frac{8}{9} . \end{matrix}

Szász Domokos (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)

II. megoldás: Másféleképp is kiszámíthatjuk a gyökök négyzetösszegét. Az egyenlet két gyöke nyilván kielégíti az egyenletet, tehát:

\begin{matrix} x_{1}^{2} + (3 p - 2) x_{1} - 7 p - 1 = 0 \end{matrix}

és

\begin{matrix} x_{2}^{2} + (3 p - 2) x_{2} - 7 p - 1 = 0. \end{matrix}

Adjuk össze a két egyenletet és vegyük figyelembe, hogy

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - (3 p - 2) : \\ x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(3 p - 2)}^{2} + 2 (7 p + 1) = \\ = 9 p^{2} + 2 p + 6 = {(3 p + \frac{1}{3})}^{2} + \frac{53}{9} . \end{matrix}

A megoldás további menete azonos az I. megoldáséval.

Szatmári Gábor (Bp. VIII., Piarista g. II. o. t.)