Kezdőlap


Feladat:	407. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer Magda , Tusnády Gábor
Füzet:	1957/november, 123 - 124. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevező gyöktelenítése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/március: 407. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Kifejezésünkben a számláló és a nevező minden tagjából $\sqrt[3]{6}$ kiemelhető:

\begin{matrix} \frac{5 \sqrt[3]{6} - 2 \sqrt[3]{12}}{4 \sqrt[3]{12} + 2 \sqrt[3]{6}} = \frac{\sqrt[3]{6} (5 - 2 \sqrt[3]{2})}{\sqrt[3]{6} (4 \sqrt[3]{2} + 2)} = \frac{5 - 2 \sqrt[3]{2}}{2 (2 \sqrt[3]{2} + 1)} . \end{matrix}

A nevező racionális lesz, ha megszorozzuk

(4 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt[3]{2} + 1)

-gyel, mert hiszen

(a + b) (a^{2} - a b + b^{2}) = a^{3} + b^{3}

\begin{matrix} \frac{5 - 2 \sqrt[3]{2}}{2 (2 \sqrt[3]{2} + 1)} = \frac{(5 - 2 \sqrt[3]{2}) (4 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt[3]{2} + 1)}{2 (2 \sqrt[3]{2} + 1) (4 \sqrt[3]{4} - 2 \sqrt[3]{2} + 1)} = \\ = \frac{20 \sqrt[3]{4} - 8 \cdot 2 - 10 \sqrt[3]{2} + 4 \sqrt[3]{4} + 5 - 2 \sqrt[3]{2}}{2 (16 + 1)} = \frac{24 \sqrt[3]{4} - 12 \sqrt[3]{2} - 11}{34} . \end{matrix}

Ezzel a kitűzött célt el is értük, a nevezőt ,,gyöktelenítettük".

Tusnády Gábor (Sátoraljaújhely, Kossuth g. II. o. t.)

II. megoldás: Tekintsük kifejezésünknek

\sqrt[3]{6}

-tal egyszerűsített alakját, amelyből még az

\frac{1}{2}

szorzót is elhagytuk:

\frac{5 - 2 \sqrt[3]{2}}{2 \sqrt[3]{2} + 1}

.
Próbáljuk ezt a törtet olyan alakra hozni, hogy a nevező egyetlen racionális szám legyen, a számláló pedig

\sqrt[3]{2}

-nek legfeljebb második hatványát tartalmazza, azaz ‐ az osztást az együtthatóknál mindjárt elvégzettnek képzelve ‐ törtünk ilyen alakú legyen:

\begin{matrix} \frac{5 - 2 \sqrt[3]{2}}{2 \sqrt[3]{2} + 1} = a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} . \end{matrix}

Végigszorozva a nevezővel:

\begin{matrix} 5 - 2 \sqrt[3]{2} = 2 a \sqrt[3]{2} + 2 b \sqrt[3]{4} + 4 c + a + b \sqrt[3]{2} + c \sqrt[3]{4} = \\ = (2 a + b) \sqrt[3]{2} + (2 b + c) \sqrt[3]{4} + (4 c + a) . \end{matrix}

A jobb- és baloldalak együtthatóinak összehasonlításából látható, hogy ez csak akkor áll fenn, ha

\begin{matrix} 5 = & a + 4 c \\ - 2 = & 2 a + b \\ 0 = & 2 b + c . \end{matrix}

Az egyenletrendszert megoldva:

\begin{matrix} a = - \frac{11}{17} b = - \frac{12}{17} c = \frac{24}{17} . \end{matrix}

Ezt visszahelyettesítve látjuk, hogy a szerepelő tört racionális nevezőjű alakja ugyanaz, mint előbb.

Bayer Magda (Bp. XX., Bagi I. lg. II. o. t.)