Kezdőlap


Feladat:	404. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs János
Füzet:	1957/november, 121 - 122. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 404. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A betűzést az ábra mutatja.

Feltehetjük, hogy

a \leq b

. Mivel

m < a \leq b

, így, ha a magasságokból derékszögű háromszög szerkeszthető, akkor abban az átfogó

b

lesz. Viszont a

b

átfogó és az

m

befogó egyértelműen meghatározza a belőlük szerkeszthető derékszögű háromszöget, és így az

A C D_{▵}

-ből e befogó hossza

A D = c_{1}

.
Azaz

a

-ból,

b

-ből és

m

-ből akkor és csak akkor szerkeszthető derékszögű háromszög, ha a derékszögű háromszög rövidebbik befogója megegyezik az átfogónak a másik befogó melletti szeletével. Ez a derékszögű háromszögben a mértani közepekre vonatkozó tétel szerint másképp úgy fogalmazható: a hosszabb befogó mértani közepe a rövidebb befogónak és az átfogónak.
Ennek a különleges háromszögnek a szögeit is meghatározhatjuk. Ugyanis

tg α = \frac{a}{b}

, az

m

c_{1}

b

oldalú háromszögben

cos α = \frac{c_{1}}{a} = \frac{a}{b}

, tehát

\begin{matrix} cos α & = tg α = \frac{sin α}{cos α}, \\ cos^{2} α & = sin α, 1 - sin^{2} α = sin α . \end{matrix}

A kapott másodfokú egyenletből

sin α

-ra csak a pozitív gyök felel meg:

\begin{matrix} sin α = \frac{- 1 + \sqrt[]{5}}{2} \approx 0, 6180 \\ α \approx 38^{\circ} 10' \end{matrix}

A másik szög

\begin{matrix} β \approx 51^{\circ} 50' . \end{matrix}

A magasságvonalakból tehát derékszögű háromszög szerkeszthető, ha

α

szög sinusa a fenti értékű, azaz a háromszög szögei a fenti nagyságúak.

Balázs János (Bp. V., Eötvös g. II. o. t.)