Kezdőlap


Feladat:	403. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Bartha László
Füzet:	1957/november, 119 - 121. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Körök, Pont körre vonatkozó hatványa, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 403. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $e$ és $A B$ egyenesek metszéspontját $C$ -vel, az $e$ egyenesnek $C$ -től a megszerkesztendő körig terjedő szakaszát $x$ -szel (l. az 1. ábrát).

1. ábra

A szelődarabok közti összefüggés értelmében fenn kell, hogy álljon:

\begin{matrix} x (x + b) = C B \cdot C A . \end{matrix}

(1)

Rajzoljunk meg

A

-n és

B

-n át egy tetszőleges kört, célszerű pl. olyat, amelyiknek az átmérője

d

. Ennek középpontját

C

-vel összekötve a keletkező szelőnek a

C

-től a segédkörig terjedő

C C_{1}

szakasza egyenlő a keresett

x

távolsággal, mert ez kielégíti az (1) egyenletet, és annak csak egy pozitív megoldása van, hiszen a baloldal növekvő

x

-szel állandóan nő.
Az

e

egyenesre fölmérve

C

-től az

x

távolságot, a megszerkesztendő körnek

3

pontját kaptuk meg, amiből a kört meg tudjuk szerkeszteni.
Mivel

x

-et kétirányban mérhetjük föl, a feladatnak általában két megoldása lesz. Ha az

A B

párhuzamos

e

-vel, a szerkesztés triviális és csak

1

megoldás van (l. a 2. ábrát).

2. ábra

‐ Ha viszont

d

kisebb, mint

A B

, akkor tetszés szerinti segédkört szerkesztünk

A

-n és

B

-n át, ebbe egy

d

hosszúságú húrt és azt a kört, amelyik koncentrikus az első segédkörrel és a

d

hosszúságú húrt érinti (3. ábra).

3. ábra

C

-ből a második segédkörhöz húzott érintőn a

C

-től az első segédkörig terjedő szakasz ismét kielégíti az (1) egyenletet, s így ez a keresett

x

távolság.

Bartha László (Balassagyarmat, Balassa g. II, o. t.)