Kezdőlap


Feladat:	401. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gémesi Gabriella , Rátkay Zsolt
Füzet:	1957/november, 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Síkgeometriai számítások trigonometriával, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 401. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Legyenek a befogók $a$ , $b$ , az átfogó $c$ . Ismeretes, hogy

\begin{matrix} tg \frac{γ}{2} = \sqrt[]{\frac{(s - a) (s - b)}{s (s - c)}} = \sqrt[]{\frac{s (s - a) (s - b) (s - c)}{s^{2} {(s - c)}^{2}}} = \frac{t}{s (s - c)} . \end{matrix}

Mivel jelen esetben

γ = 90^{\circ}

t = 84

s = 28

, azért

\begin{matrix} 28 (28 - c) = 84, vagyis 28 - c = 3, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c = 25 cm, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} a + b = 56 - c = 31. \end{matrix}

Figyelembe véve, hogy a feladat szerint

a b = 168

, azért

a

és

b

a következő másodfokú egyenlet gyökei:

\begin{matrix} x^{2} - 31 x + 168 = 0, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} a_{1} = b_{2} = 7, a_{2} = b_{1} = 24. \end{matrix}

Gémesi Gabriella (Bp. VIII., Ságvári lg. II. o. t.)

II. megoldás: Legyen a derékszögű háromszögbe irt kör sugara

ϱ

, akkor az ismert

t = ϱ s

összefüggésből

\begin{matrix} ϱ = \frac{t}{s} = \frac{84}{28} = 3. \end{matrix}

Továbbá

\begin{matrix} c = a - ϱ + b - ϱ = 2 s - c - 2 ϱ, \end{matrix}

amiből

\begin{matrix} c = s - ϱ = 28 - 3 = 25. \end{matrix}

A megoldás folytatása az I. megoldás szerint.

Rátkay Zsolt (Bp. VI., Kölcsey g. II. o. t,)