Kezdőlap


Feladat:	400. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Elbert Á. , Endrődy T. , Jalsovszky Gy. , Katona Gy. , Kisvölcsey J. , Raisz Klára , Szathmáry G. , Tusnády G. , Varga F.
Füzet:	1957/november, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Negyedfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 400. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A legegyszerűbb olyan egyenlet, amelynek gyöke $\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}$

\begin{matrix} x - (\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}) = 0, \end{matrix}

de ennek együtthatói természetesen nem mind egész számok.
Vigyük az általános tagot a jobb oldalra, és emeljük mindkét oldalt négyzetre:

\begin{matrix} x^{2} = 2 + 2 \sqrt[]{6} + 3 = 5 + 2 \sqrt[]{6} . \end{matrix}

Az együtthatók még mindig nem megfelelők, de

\begin{matrix} x^{2} - 5 = 2 \sqrt[]{6} \end{matrix}

alakba írva, és mindkét oldalt négyzetre emelve

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{2} + 25 = 24, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} x^{4} - 10 x^{2} + 1 = 0 \end{matrix}

(1)

egyenletben az együtthatók egész számok, és

x = \sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

kielégíti az egyenletünket.
Megmutatjuk, hogy negyedfokúnál alacsonyabb fokú egyenlet nem tehet eleget feltételeinknek.
Elsőfokú egyenlet nem jöhet számításba, mert egész együtthatós elsőfokú egyenlet gyöke mindig racionális.

\begin{matrix} a x^{2} + b x + c = 0 \end{matrix}

másodfokú egyenlet esetén behelyettesítéskor

\sqrt[]{6}

csak az

x^{2}

-ben szerepel, és mivel

a \neq 0

, azért nem létezhetik olyan másodfokú egyenlet, melynek

\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3}

gyöke volna.
A harmadfokú egyenlet általános alakja

\begin{matrix} a x^{3} + b x^{2} + c x + d = 0. \end{matrix}

Mivel

x^{3} = {(\sqrt[]{2} + \sqrt[]{3})}^{3} = 2 \sqrt[]{2} + 6 \sqrt[]{3} + 9 \sqrt[]{2} + 3 \sqrt[]{3} = 11 \sqrt[]{2} + 9 \sqrt[]{3}

, azért

\sqrt[]{6}

ismét csak a másodfokú tagban szerepel, tehát szükségképpen

b = 0

. De akkor

\begin{matrix} 11 \sqrt[]{2 a} + 9 \sqrt[]{3 a} + \sqrt[]{2 c} + \sqrt[]{3 c} + d = \\ = \sqrt[]{2} (11 a + c) + \sqrt[]{3} (9 a + c) + d = 0, \end{matrix}

ami csak úgy állhat fenn, ha

a = c = d = 0

.
Tehát az (1) alatti negyedfokú egyenlet a legalacsonyabb fokú, amely feltételeinknek eleget tesz.

Raisz Klára (Miskolc, Zrínyi I. lg. I. o. t.)