Kezdőlap


Feladat:	399. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Simonfai László
Füzet:	1957/november, 115 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/február: 399. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Vezessük be a következő új ismeretleneket:

\begin{matrix} u = \sqrt[3]{76 + \sqrt[]{x}}, v = \sqrt[3]{76 - \sqrt[]{x}}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} u^{3} = 76 + \sqrt[]{x}, & (1) \\ v^{3} = 76 - \sqrt[]{x} . & (2) \end{matrix}

(1) és (2) összege

\begin{matrix} u^{3} + v^{3} = 152. \end{matrix}

(3)

Az eredeti egyenletből

\begin{matrix} u + v = 8. \end{matrix}

(4)

(3)-at elosztva (4)-gyel

\begin{matrix} u^{2} - u v + v^{2} = 19, \end{matrix}

(4) négyzete

\begin{matrix} u^{2} + 2 u v + v^{2} = 64. \end{matrix}

(5)

(5) és (4) különbsége

\begin{matrix} 3 u v = 45, vagyis u v = 15, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} u^{3} v^{3} = (76 + \sqrt[]{x}) (76 - \sqrt[]{x}) = 15^{3}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 76^{2} - x = 15^{3}, \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} x = 76^{2} - 15^{3} = 5776 - 3375 = 2401. \end{matrix}

Behelyettesítéssel meggyőződhetünk, hogy

x

ezen értéke kielégíti egyenletünket.

Simonfai László (Bp. II., Rákóczi g. II. o. t.)

II. megoldás: Az egyenlet mindkét oldalát köbre emelve a baloldal kőbe:

\begin{matrix} 76 + \sqrt[]{x} + 3 {(\sqrt[3]{76 + \sqrt[]{x}})}^{2} \cdot \sqrt[3]{76 - \sqrt[]{x}} + 3 \sqrt[3]{76 + \sqrt[]{x}} \cdot {(\sqrt[3]{76 - \sqrt[]{x}})}^{2} + 76 - \sqrt[]{x} = \\ = 152 + 3 \sqrt[3]{76^{2} - x} \cdot (\sqrt[3]{76 + \sqrt[]{x}} + \sqrt[3]{76 - \sqrt[]{x}}) = 152 - 24 \sqrt[3]{76^{2} - x} . \end{matrix}

Így a

\begin{matrix} 152 + 24 \sqrt[3]{76^{2} - x} = 8^{3} = 512, \\ \sqrt[3]{76^{2} - x} = \frac{512 - 152}{24} = 15. \end{matrix}

egyenlethez jutunk. Innen köbre emelés után

x

-et kifejezve azt kapjuk, hogy csak

\begin{matrix} x = 76^{2} - 15^{3} = 5776 - 3375 = 2401 \end{matrix}

lehet az egyenlet megoldása. Könnyű számítás mutatja, hogy ez az érték valóban kielégíti az egyenletet.