Kezdőlap


Feladat:	396. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Balázs J. , Bartha L. , Bognár L. , Boros Katalin , Csanak Gy. , Czinege I. , Dániel G. , Elbert Á. , Endrődy T. , Gavajda Pál , Gémesi Gabriella , Goldperger I. , Grallert F. , Gyene A. , Katona Gy. , Kolonits F. , Kun Katalin , Losonczy L. , Máthé Cs. , Mayer G. , Mihályffy L. , Nagy Erzsébet , Sima D. , Simonfai L. , Szathmári G. , Tatai I. , Thaisz K. , Tusnády G. , Ujtelki Anna
Füzet:	1957/november, 113 - 114. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometriával, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 396. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A keresett területet megkapjuk, ha a három kör középpontja által meghatározott háromszög $T$ területéből levonjuk a háromszögbe eső három körcikk területének $t_{1} + t_{2} + t_{3}$ összegét (l. az ábrát).

A körközéppontok által meghatározott háromszög oldalai

r_{1} + r_{2}

r_{2} + r_{3}

r_{3} + r_{1}

, és így Heron képletét alkalmazva

\begin{matrix} T = \sqrt[]{(r_{1} + r_{2} + r_{3}) r_{1} r_{2} r_{3}} . \\ t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{π}{360^{\circ}} (r_{1}^{2} α^{\circ} - r_{2}^{2} β^{\circ} - r_{3}^{2} γ^{\circ}) . \end{matrix}

A szögeket egyértelműen a cosinus-tétel felhasználásával számíthatjuk ki. Azonban ha tudjuk, hogy pl.

r_{1} < r_{2} < r_{3}

, akkor egyszerűbb a két kisebbik (feltétlenül hegyes-)szöget a terület-képletből számítani:

\begin{matrix} sin β = \frac{2 T}{(r_{2} + r_{1}) (r_{2} + r_{3})}, sin γ = \frac{2 T}{(r_{3} + r_{1}) (r_{3} + r_{2})} \end{matrix}

és a harmadik (esetleg tompa-)szöget egyszerű kivonással meghatározni.

\begin{matrix} α = 180^{\circ} - (β + γ) . \end{matrix}

A megfelelő adatok behelyettesítésével:

T = \sqrt[]{(4 + 9 + 36) 4 \cdot 9 \cdot 36} = \sqrt[]{49 \cdot 36^{2}} = 7 \cdot 36 = 252

területegység.

\begin{matrix} sin β = \frac{504}{13 \cdot 45} = \frac{56}{65}, sin γ = \frac{504}{40 \cdot 45} = \frac{7}{25} . \end{matrix}

Négyjegyű

log

-táblát használva

\begin{matrix} β = 59, 5^{\circ}, γ = 16, 26^{\circ}, és így α = 180^{\circ} - 75, 76^{\circ} = 104, 24^{\circ}, \end{matrix}

tehát

\begin{matrix} t_{1} + t_{2} + t_{3} = \frac{π}{360} (16 \cdot 104, 24 + 81 \cdot 59, 5 + 1296 \cdot 16, 26) = \\ = \frac{27 560, 30 π}{360} \sim \frac{2756 π}{36} = 240, 5 területegység . \end{matrix}

Tehát a keresett

t

terület

\begin{matrix} t = T - (t_{1} + t_{2} + t_{3}) = 252 - 240, 5 = 11, 5 területegység . \end{matrix}

Gavajda Pál (Bp. I., Petőfi g. I. o. t.)