Kezdőlap


Feladat:	392. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Dér Aladár , Komlóssy György , Náray Miklós
Füzet:	1957/október, 56 - 57. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Számtani-mértani egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 392. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Egyenlőtlenségünk bizonyítására felhasználjuk két szám számtani és mértani közepe közötti összefüggést:

\begin{matrix} \frac{x + y}{2} \geq \sqrt[]{x y} . \end{matrix}

Jelen feladatban tehát

\begin{matrix} \frac{a + b}{2} \geq \sqrt[]{a b}, \frac{b + c}{2} \geq \sqrt[]{b c}, \frac{c + a}{2} \geq \sqrt[]{c a}, \end{matrix}

ahol egyenlőség csak akkor lehet, ha

a = b = c

.
Innen (mivel a feltétel szerint mindhárom egyenlőtlenség mindkét oldala pozitív)

\begin{matrix} (a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 \sqrt[]{a b \cdot b c \cdot c a} = 8 \sqrt[]{a^{2} b^{2} c^{2}} = 8 a b c . \end{matrix}

Dér Aladár (Szombathely, Nagy Lajos g. II. o. t.)

II. megoldás: A bal oldalt polinommá alakítva

\begin{matrix} a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2} \geq 6 a b c . \end{matrix}

(1)

Osszuk mindkét oldalt a pozitív

a b c

-vel, és rendezzük át a tagokat.

\begin{matrix} (\frac{a}{c} + \frac{c}{a}) + (\frac{b}{c} + \frac{c}{b}) + (\frac{a}{b} + \frac{b}{a}) \geq 6. \end{matrix}

Ismeretes, hogy bármely valós számhoz hozzáadva a reciprok értékét, a nyert összeg nagyobb vagy egyenlő, mint 2:

\begin{matrix} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2. \end{matrix}

Ezt egyenlőtlenségünkre alkalmazva, azonnal adódik helyessége. Egyenlőség nyilván csak

a = b = c

esetén áll fenn.

Komlóssy György (Szolnok, Verseghy g. I. o. t.)

III. megoldás: Az (1) egyenlőtlenséget 0-ra redukálva, és a ,,

- 6 a b c

'' tagot három egyenlő rész összegére bontva:

\begin{matrix} (a^{2} c - 2 a b c + b^{2} c) + (a b^{2} - 2 a b c + a c^{2}) + (b c^{2} - 2 a b c + a^{2} b) \geq 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} c {(a - b)}^{2} + a {(b - c)}^{2} + b {(c - a)}^{2} \geq 0. \end{matrix}

Ez pedig igaz, mert bármely valós szám négyzete pozitív, és a feltétel szerint

a

b

c > 0

. Az egyenlőség jele nyilván csak

a = b = c

esetén érvényes.

Náray Miklós (Bp., VIII., Széchenyi g. II. o. t.)