Kezdőlap


Feladat:	390. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bartók Mária , Goldperger István
Füzet:	1957/szeptember, 24 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Oszthatóság, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1957/január: 390. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Alakítsuk át kifejezésünket szorzattá:

N = n^{7} - 14 n^{5} + 49 n^{3} - 36 n = n (n^{6} - 14 n^{4} + 49 n^{2} - 36)

.
A zárójelben álló első 3 tag

{(n^{3} - 7 n)}^{2}

, és így

N = n [{(n^{3} - 7 n)}^{2} - 36)] = n (n^{3} - 7 n + 6) (n^{3} - 7 n - 6) =

= [n (n^{2} - 1) - 6 (n - 1)] [n (n^{2} - 4) - 3 (n + 2)]

Az első szögletes zárójelből

(n - 1)

-et, a másodikból

(n + 2)

-t kiemelve

N - n (n - 1) (n + 2) (n^{2} + n - 6) (n^{2} - 2 n - 3) =

= n (n - 1) (n + 2) (n - 2) (n + 3) (n - 3) (n + 1)

.
A tényezőket nagyságrendben írva

N = (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

,
vagyis

N

hét egymás után következő szám szorzata.

2520 = 2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7

. Mivel hét egymásután következő szám közül legalább 3 páros, legalább 2 osztható 3-mal, és legalább egy‐egy osztható 5-, ill. 7-tel, azért

N

osztható

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 5 \cdot 7 = 2520

-szal, ha

n

természetes szám (

n = 1

, 2, 3 esetén

N = 0

Megjegyzés: Mivel három egymás után következő páros szám közül legalább az egyik osztható 4-gyel, azért

N

osztható

2 \cdot 2520 = 5040

-nel.

Goldperger István (Balassagyármat, Balassa g. II. o. t.)

II. megoldás: Jelöljük polinomunkat

P (n)

-nel.

P (n) = n (n^{6} - 14 n^{4} + 49 n^{2} - 36) = n P_{1} (n)

.
Keressük meg a

P_{1} (n) = n^{6} - 14 n^{4} + 49 n^{2} - 36 = 0

egyenlet gyökeit.
Mivel az ismeretlen csak páros kitevőjű hatványon szerepel, azért ha

x

gyök, akkor

- x

is az.
Ismert tétel szerint egyenletünk egész gyökei csak 36 osztói közül kerülhetnek ki. Vegyük észre, hogy

n = 1

kielégíti egyenletünket, azért a fentiek szerint

(n - 1)

és

(n + 1)

két gyöktényező.

P_{1} (n)

-et osztva

(n^{2} - 1)

-gyel, nyerjük, hogy

P (n) = n (n^{2} - 1) P_{2} (n) = n (n^{2} - 1) (n^{4} - 13 n^{2} + 36)

.
A

\begin{matrix} P_{2} (n) = n^{4} - 13 n^{2} + 36 = 0 \end{matrix}

egyenletből

\begin{matrix} n^{2} = 4, ill. 9, \end{matrix}

tehát

P_{2} (n) = (n^{2} - 4) (n^{2} - 9) = (n + 2) (n - 2) (n + 3) (n - 3)

, és így

P (n) = (n - 3) (n - 2) (n - 1) n (n + 1) (n + 2) (n + 3)

Innen kezdve a megoldás egyezik az első megoldással.

Bartók Mária (Bp., II., Hámán Kató lg. II. o. t.)