Kezdőlap


Feladat:	384. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barzó Eszter
Füzet:	1957/április, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 384. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Mivel csupa pozitív szám szerepel, elegendő a négyzetreemeléssel keletkező egyenlőtlenséget igazolni.

\begin{matrix} \frac{a}{b} > \frac{{(3 a + b)}^{2}}{{(a + 3 b)}^{2}} \end{matrix}

A bal oldalból levonva a jobb oldalt:

\begin{matrix} \frac{a}{b} - \frac{{(3 a + b)}^{2}}{{(a + 3 b)}^{2}} = \frac{a (a^{2} + 6 a b + 9 b^{2}) - b (9 a^{2} + 6 a b + b^{2})}{b {(a + 3 b)}^{2}} = \\ = \frac{a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}}{b {(a + 3 b)}^{2}} = \frac{{(a - b)}^{3}}{b {(a + 3 b)}^{2}} \end{matrix}

ez a kifejezés pedig valóban pozitív az

a > b

feltevés következtében.

Barzó Eszter (Miskolc, Zrínyi I. lg. II. o. t.)

II. megoldás: Mivel a feltétel szerint

b > 0

, és

a + 3 b > 0

, azért mindkét oldalt

\sqrt[]{b} (a + 3 b)

-vel szorozva elegendő a keletkező egyenlőtlenséget igazolni:

\begin{matrix} \sqrt[]{a} (a + 3 b) > \sqrt[]{b} (3 a + b), \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} a \sqrt[]{a} - 3 a \sqrt[]{b} + 3 b \sqrt[]{a} - b \sqrt[]{b} > 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{b})}^{3} > 0, \end{matrix}

ez pedig

\sqrt[]{a} > \sqrt[]{b}

miatt igaz.