Kezdőlap


Feladat:	383. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Somkuti Piroska
Füzet:	1957/április, 116 - 117. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/december: 383. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy ha $x$ értékét behelyettesítjük a (2) egyenlet bal oldalába, akkor eredményül $(a - b)$ -et, azaz a jobb oldalt kapjuk.
A számítás egyszerűbb, ha az $x$ -et és a (2) bal oldalát előbb egyszerűbb alakra hozzuk.
Legyen $\sqrt[]{\frac{a}{b}} = a (> 1)$ , tehát

\begin{matrix} x = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) . \end{matrix}

(1')

A (2) bal oldalán gyöktelenítsük a nevezőt, vagyis bővítsük a törtet

(x + \sqrt[]{x^{2} - 1)}

-gyel. Mivel

(x - \sqrt[]{x^{2} - 1)} (x + \sqrt[]{x^{2} - 1)} = x^{2} - (x^{2} - 1) = 1

, azért (2) bal oldala

\begin{matrix} 2 b (\sqrt[]{x^{2} - 1)} (x + \sqrt[]{x^{2} - 1)} . \end{matrix}

(2')

Számítsuk ki először a négyzetgyök alatti

x^{2} - 1

értékét:

\begin{matrix} x^{2} - 1 = \frac{1}{4} (a^{2} + \frac{1}{a^{2}} + 2) - 1 = \frac{a^{2} + \frac{1}{a^{2}} - 2}{4} = {(\frac{a - \frac{1}{a}}{2})}^{2}, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} \sqrt[]{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) (a > 1 miatt) . \end{matrix}

(3)

(1') és (3)-ból

\begin{matrix} x + \sqrt[]{x^{2} - 1} = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a}) + \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) = a \end{matrix}

(4)

(3) és (4) alapján a (2) egyenlet bal oldala

\begin{matrix} 2 b \frac{1}{2} (a - \frac{1}{a}) a = b (a^{2} - 1) = b (\frac{a}{b} - 1) = a - b, \end{matrix}

(2')

ami bizonyítandó volt.

Somkuti Piroska (Bp. I. Szilágyi E. lg. II. o.t.)

Megjegyzés: Könnyen meggyőződhetünk, hogy állításunk igaz

b < a < 0

, vagy

a = b \neq 0

esetén is.