Kezdőlap


Feladat:	379. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ágh A. , Bartha L. , Bognár L. , Bokor A. , Bozsér P. , Csanak Gy. , Dér A. , Endrődy T. , Fejes L. , Goldperger I. , Grallert F. , Gyene A. , Hajna J. , Halász G. , Heinemann Irén , Hornyánszky T. , Kesselyák M. , Kisvölcsey J. , Kolonits F. , Lefkovitsch S. , Magos A. , Máté Zs. , Máthé Cs. , Mihályffy L. , Mocskonyi M. , S. Nagy Erzsébet , Seres B. , Svékus A. , Szabó Gyula , Szász D. , Tamás Gyula (Bp.) , Trón L. , Tusnády G.
Füzet:	1957/április, 112 - 113. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Terület, felszín, Paralelogrammák, Négyszögek középvonalai, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 379. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a középvonalak metszéspontját $O$ -val. A $P Q S ▵ \sim P B C ▵$ azért a $P O$ egyenes éppúgy súlyvonala a $P Q S ▵$ -nek, mint a $P B C ▵$ -nek, vagyis $O Q = O S$ (lásd az ábrát).

Tehát az

O

centrumra nézve

\begin{matrix} Q & tükörképe & S, \\ B & ,, & D, \\ C & ,, & A, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} B Q & ,, & D S, \\ C S & ,, & A Q. \end{matrix}

B Q

és

C S

metszéspontjának,

P

-nek tükörképe tehát az

A Q

és

D S

metszéspontja:

R

.
Tehát a

P Q R S

négyszög paralelogramma.
Mivel a

P R

szakasz a középvonalon fekszik, azért (a háromszög területét éppúgy jelölve, mint a háromszöget)

\begin{matrix} A P R ▵ = B P R ▵ = C P R ▵ = D P R ▵ . \end{matrix}

(1)

Másrészt a

P Q R S

paralelogrammában

\begin{matrix} Q P R ▵ = S P R ▵ . \end{matrix}

(2)

Ha a (2) egyenlőséget (1)-ből levonjuk, nyerjük, hogy

\begin{matrix} A P Q ▵ = B Q R ▵ = C S R ▵ = D P S ▵, \end{matrix}

ami bizonyítandó volt.

Szabó Gyula (Debrecen, Fazekas g. II. o. t.)