Kezdőlap


Feladat:	377. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bayer Magda , Madarász Klára , Tomka Erzsébet
Füzet:	1957/április, 109 - 111. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Eltolás, Terület, felszín, Trapézok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 377. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: Tekintsünk két tetszés szerinti, a feltételeknek megfelelő, egyenlő szárú trapézt. A betűzést az 1. ábra mutatja.

1. ábra

Meghúzva a trapézekben a

D D' = m

, illetőleg

D_{1} D_{1}' = m_{1}

, magasságokat,

\begin{matrix} B D' D ▵ ≃ B_{1} D'_{1} D_{1} ▵, \end{matrix}

(1)

mert átfogójuk a feltétel szerint egyenlő és a

B

, ill.

B_{1}

csúcsnál fekvő hegyes szögeik

90 - \frac{φ}{2}

, ha

φ

-vel jelöljük az átlók állandó szögét.
(1)-ből következik, hogy

\begin{matrix} m = m_{1} . \end{matrix}

Másrészt

\begin{matrix} B D' = a - \frac{a - c}{2} = \frac{a + c}{2}, B_{1} D'_{1} = a_{1} - \frac{a_{1} - c_{1}}{2} = \frac{a_{1} + c_{1}}{2} . \end{matrix}

De (1) alapján

\begin{matrix} B D' = B_{1} D'_{1}, vagyis \frac{a + c}{2} = \frac{a_{1} + c_{1}}{2}, \end{matrix}

és így

\begin{matrix} \frac{a + c}{2} m = \frac{a_{1} + c_{1}}{2} m_{1}, \end{matrix}

azaz a két trapéz területe egyenlő.

Bayer Magda (Bp., XX., Bagi lg. II. o. t.)

II. megoldás: Bebizonyítjuk, hogy a tétel igaz nem egyenlő szárú trapézekre is, hacsak az átlók szöge

φ

egyenlő, és a két (különböző) átló a két trapézben egyenlő:

e = e_{1}

és

f = f_{1}

. Lásd a 2. ábrát, amely a betűzést is mutatja.

2. ábra

Toljuk el a

D B

átlót önmagával párhuzamosan a

C B'

helyzetbe, akkor

B B' = D C

, és így a

D C A ▵

területe egyenlő a

B B' C ▵

területével, mert a

D C

és

B B'

oldalakhoz tartozó magasság mindkét esetben a trapéz magassága. Ebből következik, hogy egy tetszés szerint kiválasztott trapéz területe megegyezik az

A B' C ▵

területével, amely csak az

e

és

f

távolságoktól és az általuk bezárt

φ

szögtől függ.

Tomka Erzsébet (Bp. II., Hámán Kató lg. II. o. t.)

III. megoldás: Megmutatjuk, hogy a tétel bármilyen konvex négyszögre igaz, ha az átlók hossza (

e

és

f

), és az általuk bezárt

φ

szög egyenlő.
Húzzunk az

A B C D

konvex négyszög csúcsain át az átlókkal párhuzamos egyeneseket (3. ábra).

3. ábra

Az így nyert paralelogramma oldalai

e

, illetőleg

f

, egyik szöge pedig

φ

, tehát alakja és területe csak

e

f

és

φ

-től függ. Az adott konvex négyszög területe pedig e paralelogramma területének a fele.

Madarász Klára (Szeged, Tömörkény lg. II. o. t.)