Kezdőlap


Feladat:	375. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Ferentzy Kinga , Heinemann Irén
Füzet:	1957/március, 89 - 90. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1956/november: 375. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás: A kérdéses három szám szorzata

\begin{matrix} N = (a^{3} - 1) a^{3} (a^{3} + 1) \end{matrix}

ahol

a

1

-nél nagyobb természetes szám.

504 = 8 \cdot 9 \cdot 7

. Mivel

8

9

és

7

páronként relatív prímek, feladatunkat megoldottuk, ha megmutatjuk, hogy

N

rendre osztható

8

-cal,

9

-cel és

7

-tel.
a) Ha

a

páros, akkor

a^{3}

osztható

2^{3} = 8

-cal. Ha a páratlan, akkor

(a^{3} - 1)

és

(a^{3} + 1)

két egymást követő páros szám, tehát egyikük osztható

4

-gyel, és így szorzatuk osztható

8

-cal.
Tehát

N

mindenképpen osztható

8

-cal.
b) Ha

a = 3 k

alakú, akkor

a^{3} = 27 k^{3}

osztható

9

-cel. Ha

a = 3 k \pm 1

alakú, akkor

a^{3} = 27 k^{3} \pm 27 k^{2} + 9 k \pm 1

, és így vagy

a^{3} - 1

, vagy

a^{3} + 1

osztható

9

-cel.
Tehát

N

mindenképpen osztható

9

-cel.
c) Ha

a = 7 k

alakú, akkor

a^{3}

osztható

7

-tel.
Ha

a = 7 k \pm 1

alakú, akkor

a^{3} = 7^{3} k^{3} \pm 3 \cdot 7^{2} k^{2} + 7 k \pm 1

, tehát vagy

a^{3} - 1

vagy

a^{3} + 1

osztható

7

-tel.
Ha

a = 7 k \pm 2

, illetőleg

7 k \pm 3

alakú, akkor hasonlóképpen

a^{3} = 7 A \pm 8

, illetőleg

7 B \pm 27

alakú és így vagy

a^{3} + 1

vagy pedig

a^{3} - 1

mindenkor osztható

7

-tel.
Tehát

N

mindenképpen osztható

7

-tel.

Ferentzy Kinga (Bp. IX., Patrona Hungariae lg. I. o. t.)

II. megoldás: Alakítsuk át

N

-et a következőképpen:

\begin{matrix} N & = a^{3} (a - 1) (a + 1) (a^{2} - a + 1) (a^{2} + a + 1) = \\ = a^{2} (a - 1) a (a + 1) [(a - 3) (a + 2) + 7] [(a + 3) (a - 2) + 7] = \\ = a^{2} (a - 3) (a - 2) (a - 1) a (a + 1) (a + 2) (a + 3) + \\ + 7 a^{2} (a - 1) a (a + 1) [(a - 3) (a + 2) + (a + 3) (a - 2) + 7] \end{matrix}

A két tagot

A

-val és

B

-vel jelölve, utóbbi így alakítható tovább:

\begin{matrix} B & = 7 a^{2} (a - 1) a (a + 1) (2 a^{2} - 5) = 7 a^{2} (a - 1) a (a + 1) [2 (a^{2} - 4) + 3] = \\ = 2 \cdot 7 a^{2} (a - 2) (a - 1) a (a + 1) (a + 2) + 3 \cdot 7 a^{2} (a - 1) a (a + 1) = C + D . \end{matrix}

a) A utolsó

7

tényezője egymás után következő

7

szám, ezek közül legalább

3

páros, legalább

2

osztható

3

-mal, és

1

osztható

7

-tel.
Tehát

A

osztható

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

-tel.

C

utolsó

5

tényezője

5

egymást követő szám. Ezek közül legalább

2

két egymás után következő páros szám, ezek szorzata osztható

8

-cal. Ha

a

nem osztható

3

-mal, akkor az

5

tényező közül van két

3

-mal osztható szám, ha

a

osztható

3

-mal, akkor

a^{2}

osztható

3^{2}

-tel. Végül

C

egyik tényezője

7

.
Tehát

C

osztható

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

-tel.

c) Ha

a

páros, akkor

a^{3}

osztható

2^{3}

-mal, ha páratlan, akkor

(a - 1) (a + 1)

2

egymást követő páros szám szorzata. Ha

a

osztható

3

-mal, akkor

a^{2}

osztható

3^{2}

-tel, ha

a

nem osztható

3

-mal, akkor vagy

a - 1

vagy

a + 1

osztható

3

-mal s így

3 (a - 1)

és

3 (a + 1)

közül az egyik osztható

3^{2}

-tel.

7

pedig

D

-nek egyik tényezője,
Tehát

D

is osztható

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

-tel.
Így az

\begin{matrix} N = A + B = A + C + D \end{matrix}

kifejezés is osztható

2^{3} \cdot 3^{2} \cdot 7

-tel, és ezt akartuk bizonyítani.

Heinemann Irén (Pécs, Leöwey lg. I. o. t.)